równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych+podstawienie

[by_the_way]

Cześć,

mam problem z jednym, pozornie łatwym zadaniem, wydaje mi się, że muszę gdzieś albo robić bardzo podstawowy błąd, albo nie umiem tego dokończyć.

\(\displaystyle{ \left( y-x \right) \sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx} = \left( \sqrt{1+y^2} \right) ^3}\),
a podpowiedzią jest podstawienie
\(\displaystyle{ x=\tg u}\)
\(\displaystyle{ y=\tg v}\).

Wydaje mi się, że można wyliczyć na podstawie powyższych związków
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}= \left( \frac{\cos u}{\cos v} \right) ^2 \frac{dv}{du}}\)
i "podstawić" wszystko do początkowego równania.

I tutaj zaczynają się schody, wszystko się upraszcza do:
\(\displaystyle{ \frac{\sin v\cos u-\cos v\sin u}{\cos v\cos u} \frac{dv}{du}=\frac{1}{\left| \cos v\cos u \right| }}\)

Można jeszcze z tego wyciągnąć sinus różnicy kątów i uprościć cosinusy, ale... mam wrażenie, że coś po drodze jest bardzo nie tak i za nic nie wiem jak to poprawić/skończyć

Będę wdzięczna za pomoc,
pozdrawiam!

[Kartezjusz]

Zwiń jak proponowałeś. i pomnóż przez mianownik. następnie zastosuj podstawienie liniowe.