Upraszczanie wyrażeń, wyznaczanie dziedziny oraz argumentów

[x0wnedx]

Witam!
Uczę się trzecią godzinę na sprawdzian z wyrażeń wymiernych. Rozwiązałem samemu większość zadań, jednak pozapominałem paru rzeczy i mam problem z najprostszymi zadaniami.

Zad1.
Wyznacz dziedzinę i uprość wyrażenie.
I tutaj jeden nieszczęsny przykład:

\(\displaystyle{ W(x)= \frac{-1}{x+1} - \frac{1}{1-x} + \frac{1}{ x^{2} -1 }}\)


zad2 Wyznacz te argumenty, dla których funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{6}{2-x}}\) przyjmuje wartości nie większe od 3

zad 3 Wyznacz dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f(x) \sqrt{ \frac{2x-2}{x-6} }}\)



z góry dziękuję za pomoc.

[konrad509]

1. Mianownik musi być różny od zera. Żeby uprościć sprowadzasz do wspólnego mianownika.
2. Rozwiąż \(\displaystyle{ f(x)\leq3}\)
3. Mianownik różny od zera i wartość pod pierwiastkiem większa lub równa zero.

[ZaxHunter]

1. Rozpisz sobie wszystkie warunki, mianownik nie może być zerem więc masz w tym zadaniu trzy przypadki gdzie x jest w mianowniku, każdy osobno rozwiąż a potem weź część wspólną. Jeśli chcesz uprościć polecam wspólny mianownik.

2. W drugim, zastanów się dla jakiego x funkcja osiąga dokładnie 3. Sprawdź czy biorąc większe lub mniejsze x funkcja będzie większa czy mniejsza od 3. Wyciągnij wnioski.

3. Znowu rozpisujesz warunki, rozwiązujesz osobno a później bierzesz część wspólną. Tym razem oprócz mianownika różnego od zera pamiętaj, że pod pierwiastkiem nie może być liczby ujemnej.

Edit: Jak widać Konrad509 mnie wyprzedził...

[x0wnedx]

Zad1

\(\displaystyle{ W(x)= \frac{-1}{x+1} - \frac{1}{1-x} + \frac{1}{ x^{2} -1 }}\)

\(\displaystyle{ W(x)= \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{ x^{2} -1 }}\)

\(\displaystyle{ W(x)= \frac{1( x^{2}-1) }{( x^{2} -1)(x-1) } + \frac{1( x^{2}-1) }{( x^{2} -1)(x-1) } + \frac{1(x-1)}{( x^{2} -1)(x-1) }}\)

\(\displaystyle{ W(x)= \frac{2 x^{2} +x -3 }{( x^{2} -1)(x-1) }}\)

czy to jest dobrze? Co dalej?

D=R{-1,1}



Zad2
\(\displaystyle{ f(x) \le 3 \Leftrightarrow \frac{6}{2-x} \le 3}\)

\(\displaystyle{ \frac{6}{2-x} \le 3 /* (2-x)}\)

\(\displaystyle{ 3(2-x) \le 6}\)

\(\displaystyle{ 3x \le 0}\)
\(\displaystyle{ x \le 0}\)

Dobrze?? Jaka jest poprawna matematycznie odpowiedź do tego zadania?


zad3

Czyli mianownik nie może się równać zero oraz całe wyrażenie musi być większe lub równe 0.
\(\displaystyle{ x-6 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x \neq 6}\)

a to drugie jak zapisać?




Z góry dziękuję za pomoc. Punkty już lecą

[ZaxHunter]

Zad1
\(\displaystyle{ W(x)= \frac{-1}{x+1} - \frac{1}{1-x} + \frac{1}{ x^{2} -1 }}\)

\(\displaystyle{ W(x)= \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{ x^{2} -1 }}\)

W tym miejscu pominąłeś jeden minus przy przejściu...

\(\displaystyle{ W(x)= \frac{-1}{x+1} - \frac{1}{1-x} + \frac{1}{ x^{2} -1 }}\)

Można zapisać jako:
\(\displaystyle{ W(x)= \frac{1}{-x-1} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{ x^{2} -1 }}\)
Albo:
\(\displaystyle{ W(x)= \frac{-1}{x+1} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{ x^{2} -1 }}\)

Proponuję drugą wersję, teraz skróci się jeszcze zabawniej, mianowicie wyjdzie Ci:

\(\displaystyle{ W(x)= \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} - \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} + \frac{1}{ x^{2} -1 }}\)

X w liczniku się ładnie redukuje i mamy:

\(\displaystyle{ W(x)= \frac{2}{(x+1)(x-1)} + \frac{1}{ x^{2} -1 }}\)

W mianowniku wzór skróconego mnożenia i mamy:

\(\displaystyle{ W(x)= \frac{2}{ x^{2} -1 } + \frac{1}{ x^{2} -1 }}\)

\(\displaystyle{ W(x)= \frac{3}{ x^{2} -1 }}\)

Dziedzinę masz dobrze...


Zad 2:
Dobrze, matematyczna odpowiedź to przedział od minus nieskończoności do zera

Zad 3:
Pierwsza część dobrze, rozwiąż jeszcze nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{2x-2}{x-6} \ge 0}\)
I weź część wspólną przedziałów jakie Ci wyjdą...