Całka krzywoliniowa nieskierowana-koło

[konradzik012]

Witam,

Zdanie to:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{x^2+y^2}dl}\)

gdzie obszar całkowania to:

\(\displaystyle{ \left( x-1 \right) ^2+y^2=1}\)

Proszę o wytłumaczenie jak przedstawić obszar w współrzędnych parametrycznych?

Moim zdaniem \(\displaystyle{ t \in \left[ -\frac{ \pi }{2},\frac{ \pi }{2} \right]}\)

Ponieważ walec znajduje się w pierwszej i czwartej ćwiartce.

\(\displaystyle{ x \left( t \right) =\cos t}\)

\(\displaystyle{ y \left( t \right) =\sin t}\)

Dobrze?

[Ser Cubus]

\(\displaystyle{ x-1 = \cos t \\
y = \sin t}\)

[konradzik012]

Po zastosowaniu trafiłem na trudna całkę a mianowicie:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{x^2+y^2}dl}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-1 = \cos t \\ y = \sin t
\end{cases}}\)

kat to \(\displaystyle{ 0 \le t \le 2\pi}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \sqrt{cos^2 t+sin^2 t+1+2cost}=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{2+2cost}}\)

jakiś sposób na nią?

[liu]

Jakiś cosinus kąta połówkowego.

[konradzik012]

\(\displaystyle{ \left| \sqrt{ \frac{1+cost}{2} }=cos \frac{1}{2}t\right|}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}|\cos \frac{1}{2}t|dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\cos \frac{1}{2}t|dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}|\cos \frac{1}{2}t|dx+\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}|\cos \frac{1}{2}t|dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos \frac{1}{2}tdx-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\cos \frac{1}{2}tdx+\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\cos \frac{1}{2}tdx=4}\)

Calkowity wynik to 8

[liu]

Po małych przekształceniach dostaniesz to, co pod całką.