Wykaż z definicji element najmniejszy zbioru

[bob1000]

ZAD: Wykazać z definicji element najmniejszy zbioru \(\displaystyle{ B=\left\{ \frac{n}{2n+1}, n \in \NN \right\}}\).
Zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest nieskończonym ciągiem. Na pierwszy rzut oka ciężko określić czy jest malejący czy rosnący więc sprawdzam go... \(\displaystyle{ b_{n+1}- b_{n}>0}\) więc ciąg jest rosnący. Z definicji element zbioru \(\displaystyle{ B}\) jest elementem najmniejszym tego zbioru jeżeli \(\displaystyle{ b \in B \wedge \bigwedge\limits_{b' \in B} b \le b'}\). Oczywiste, że pierwszy warunek jest spełniony. Co do warunku drugiego to można zapisać to tak?: \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{ \frac{n+1}{2(n+1)} \in B } \frac{n}{2n+1} \le \frac{n+1}{2(n+1)+1}}\).

[szw1710]

Skoro jest rosnący, to \(\displaystyle{ b_1<b_2<\dots}\). A więc \(\displaystyle{ \bigwedge_{b\in B} b_1\le b}\). Jeśli \(\displaystyle{ \bigvee_{b'\in b}\;\bigwedge_{b\in B} b'\le b}\), to w szczególności \(\displaystyle{ b'\le b_1}\). Ale z poprzedniego mamy też, że \(\displaystyle{ b_1\le b'}\), tak więc \(\displaystyle{ b'=b_1}\).

Ale wystarczy, że \(\displaystyle{ b_1\le b}\) dla każdego \(\displaystyle{ b\in B}\). To jest definicja elementu najmniejszego: element zbioru poprzedzający wszystkie pozostałe. Tak naprawdę ja wykazałem, że element najmniejszy zbioru jest też kresem dolnym. I to niekoniecznie tego ciągu, ale dowolnego zbioru, jak się dobrze przypatrzeć.

[bob1000]

"Jeśli \(\displaystyle{ \bigvee_{b'\in b}\;\bigwedge_{b\in B} b'\le b}\) "? A nie tak:\(\displaystyle{ \bigvee_{b'\in B}\;\bigwedge_{b\in B} b'\le b}\)?

[szw1710]

Owszem, błąd drukarski. Ale chyba na Twoją percepcję nie wpłynął.

[bob1000]

Więc moje rozumowanie w pierwszym poście rozumiem, że jest poprawne:D.

[szw1710]

Można. Masz drobny błąd pod kwantyfikatorem. Ale ja bym to pisał symbolami \(\displaystyle{ b_1\le b}\), co w moim odczuciu jest łatwiejsze do przeczytania. Szczegóły można sobie wykazać na boku.

A całe to moje pisanie z kresem wynikło stąd, że myślałem, że ten warunek pierwszy to nierówność. A to drugi, pierwszym jest \(\displaystyle{ b\in B}\). On jest tak oczywisty, że w ogóle go nie numerowałem.