Równanie logarytmiczne

[DrJeckyll]

"Standardowy sposób"
\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{\log \sqrt{x} } } =10, \quad x>0, \ x\neq 1\\
x ^{\log \sqrt{x}}=100\\
\log _x x ^{\log \sqrt{x}}=\log _x 100\\
\log \sqrt{x}=\log _x 100\\
\frac{1}{2}\log x=\frac{2}{\log x}\\
\log x=t
....}\)
Dalej jeszcze bardziej standardowo...
Należy pamiętać o sprawdzeniu wyników, czy spełniają wyjściowe równanie.

Eee... jak z \(\displaystyle{ \log _x 100}\) zrobiłeś \(\displaystyle{ \frac{2}{\log x}}\)

Edit:
Dobra, już mi coś się tam przypomniało. Ale to jest jakieś takie na około łażenie. Logarytmować obie strony jest szybciej i mniej skomplikowanie.

[kacper218]

\(\displaystyle{ \log_x100=2\log_x10}\)
Teraz korzystam z twierdzenia o zamianie podstaw logarytmu:
\(\displaystyle{ \log_x10=\frac{\log10}{\log x}=\frac{1}{\log x}}\)
Najprościej zapamiętać taki wzór:
\(\displaystyle{ \log_x y=\frac{1}{\log_y x}, \quad x,y>0 \ \wedge \ x,y\neq 1}\)

[DrJeckyll]

Tak wiem, napisałem, że mi się przypomniało. Jest oczywiście ok, jednak dla mnie za dużo zabawy.

[Kartezjusz]

Zauważ,że Kacper zlogarytmował obustronnie...

[papus]

\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{\log( \sqrt{x}) } } = 10}\)

\(\displaystyle{ \left( x ^{ \frac{1}{2}\log(x) } \right) ^{ \frac{1}{2} } = 10}\)

niech \(\displaystyle{ \log (x) = y \Rightarrow x = 10^y}\)

\(\displaystyle{ \left[ \left( 10^y\right)^{ \frac{1}{2}y} \right] ^{ \frac{1}{2} } = 10}\)

\(\displaystyle{ 10 ^{ \frac{1}{4}y^2} = 10}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}y^2 = 1}\)

\(\displaystyle{ y^2 = 4}\)

\(\displaystyle{ |y| = 2 \Rightarrow y = \pm 2}\)

Teraz tylko wyliczyć należy \(\displaystyle{ x}\).

[DrJeckyll]

Zauważ,że Kacper zlogarytmował obustronnie...

Owszem. Wciąż jednak uważam, że logarytmowanie z podstawą 10 jest prostszą drogą. Zresztą - nieważne. Nie ma co już bić o to piany. Zadanie można rozwiązać na kilka sposobów - wszystkie sprowadzają się do wykorzystania jednej bądź kilku własności logarytmów. Wszystkie są niezbyt skomplikowane. Kto jaki wybierze - jego wola i sprawa. Wynik będzie taki sam.