Sprawdzić, czy jest sigma-ciałem.

[PiotrowskiW]

Niech \(\displaystyle{ X i Y}\) będą zbiorami.Niech\(\displaystyle{ m \subset 2^{X}}\) będzie sigma ciałem, a \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\)funkcją odwzorowującą zbiór\(\displaystyle{ X}\)na\(\displaystyle{ Y}\).
Czy sigma ciałem jest:
a)\(\displaystyle{ \left\{ A \subset X : f(A) \in m\right\}}\)
b)\(\displaystyle{ \left\{ f^{-1}(B):B \in m \right\}}\)

[szw1710]

Przeciwobraz różnicy zbiorów jest różnicą przeciwobrazów. Dla obrazów niekoniecznie. Ale sprawdź w kontekście informacji, że \(\displaystyle{ f}\) jest "na".

[PiotrowskiW]

Mógłbym prosić o szczegółowe rozwiązanie któregoś podpunktu?

-- 2 paź 2013, o 13:53 --

b)
(i) \(\displaystyle{ f^{-1}(Y)=X, f^{-1}(\phi)=\phi (?)}\)

Nie rozumiem w tym miejscu skąd wynika, że Y jest zbiorem mierzalnym.

[robertm19]

Zadanie jest źle sformułowane. O ile do podpunktu a) sigma ciało \(\displaystyle{ m}\) pasuje, to do podpunktu b) już nie. Ponieważ \(\displaystyle{ m \subset 2^x}\) a w b) powinno być \(\displaystyle{ m\subset 2^Y}\).

[PiotrowskiW]

To ze zbiorem pustym tez jest źle, prawda?!

[robertm19]

Rozumiesz czym jest przeciwobraz?

[PiotrowskiW]

tak, więc, gdy mam funkcję "na", to nie istniej zbiór, którego przeciwobraz jest zbiorem pustym?!

[robertm19]

Ale co to ma do rzeczy? Nie ma takiego warunku do sprawdzenia w definicji sigma ciała?

[PiotrowskiW]

Mam sprawdzić czy coś jest sigma ciałem.
Zbiór pusty i cała przestrzeń mają należeć do "kandydata"

[robertm19]

Więc zbiór pusty należy bo przeciwobraz zbioru pustego jest zbiorem pustym. To już napisałeś.

[DrJeckyll]

Zadanie jest źle sformułowane. O ile do podpunktu a) sigma ciało \(\displaystyle{ m}\) pasuje, to do podpunktu b) już nie. Ponieważ \(\displaystyle{ m \subset 2^x}\) a w b) powinno być \(\displaystyle{ m\subset 2^Y}\).

Przecież możliwe jest istnienie takich zbiorów X i Y, że \(\displaystyle{ B \subset Y}\) i jednocześnie \(\displaystyle{ B \in m\subset 2^X}\).