Wyprowadzenie wzoru na pierwiastek z liczby zespolonej

[superziom123]

Witam. Czy mógłby ktoś wrzucić wyprowadzenie wzoru na pierwiastek z liczby zespolonej? Szukałem w internecie, ale nie mogłem znaleźć .

Będę bardzo wdzięczny za pomoc.

[yorgin]

[superziom123]

Mam jeszcze pytanie, bo dokładniej chodziło mi o wyprowadzenie wzoru na pierwiastek a tutaj jest potęga. Więc żeby wszystko się zgadzało to zamiast \(\displaystyle{ k+1}\) dla \(\displaystyle{ k}\) dowodzić \(\displaystyle{ \frac{1}{k}+1}\) dla \(\displaystyle{ \frac{1}{k}}\) ? Jestem totalnie zielony z indukcji, bo nie brałem tego w liceum, gdyż byłem na podstawie.

[yorgin]

W linku masz wszystko napisane. Wykazana jest równość

\(\displaystyle{ (\cos x + i \sin x)^n = \cos (nx) + i \sin (nx).}\)

Indukcja przebiega dla dodatnich wykładników całkowitych.

Chcąc otrzymać wzór na pierwiastki wystarczy zauważyć, że każdy z domniemanych pierwiastków dzięki powyższej formule można łatwo podnieść do żądanej potęgi i sprawdzić, że jest istotnie pierwiastkiem.

[superziom123]

a mógłbyś jeszcze wyjaśnić jak z pierwszego wzięło się drugie? jest na to jakiś wzór?

\(\displaystyle{ \left( r\left( \cos\varphi + i\sin\varphi\right)\right)^{ \frac{1}{n} } = r^{ \frac{1}{n} }\left( \cos \frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i\sin \frac{\varphi + 2k\pi}{n} \right)}\) ?

chodzi mi głównie o to co znajduje się pod funkcjami trygonometrycznymi.

[yorgin]

Mamy równanie \(\displaystyle{ z^n=w}\).

Niech \(\displaystyle{ z=r(\cos t+i\sin t)}\) oraz \(\displaystyle{ w=\rho(\cos s+i\sin s)}\)

\(\displaystyle{ z^n=r^n(\cos nt+i\sin nt)=\rho (\cos s+i\sin s)}\)

Równanie jest spełnione, gdy \(\displaystyle{ r=\rho^\frac{1}{n}}\) oraz \(\displaystyle{ nt=s}\) czyli \(\displaystyle{ t=\frac{s}{n}}\)

Wzór \(\displaystyle{ z^n=r^n(\cos nt+i\sin nt)=\rho (\cos s+i\sin s)}\) zachodzi również dla podstawienia \(\displaystyle{ t\to t+\frac{2k\pi}{n}}\), więc dostajemy dodatkowo \(\displaystyle{ t=\frac{s-2k\pi}{n}}\). \(\displaystyle{ k}\) jest dowolne.