Pytanie o obszar całkowania

[konradzik012]

Witam, mam do obliczenia całkę:

\(\displaystyle{ I= \int_{0}^{1}\left( \int_{ -\sqrt{2x-x^2} }^{ \sqrt{2x-x^2}} (x^2+y^2-2x+3)dy\right) dx}\)


Zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \le x \le 1 \\ -\sqrt{2x-x^2} \le y \le \sqrt{2x-x^2}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ (x-1)^2+y^2=1}\)

Rysuje obszar całkowania, powstaje mi okrąg o środku \(\displaystyle{ O(1,0)}\), promieniu \(\displaystyle{ r=1}\).
Zatem obszarem całkowania jest połowę koła, przedział \(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\)

Moje pytanie jak opisać to za pomocą współrzędnych biegunowych?
Wiem że kąt będzie to: \(\displaystyle{ -\frac{ \pi }{2} \le \alpha \le \frac{ \pi }{2}}\) ponieważ to I i IV ćwiartka układu współrzędnych.
Teraz pytanie jak opisać \(\displaystyle{ r}\)?

Myślałem żeby opisać go za pomocą \(\displaystyle{ 0 \le r \le 2\cos \alpha}\)
A następnie wynik podzielić przez dwa ponieważ obszarem całkowania jest połowa koła.

Proszę o pomoc.

[Ser Cubus]

promień nie jest zależnością funkcji trygonometrycznej
\(\displaystyle{ 0 < r < 1}\)
widać to nawet z rysunku

[konradzik012]

promień nie jest zależnością funkcji trygonometrycznej
\(\displaystyle{ 0 < r < 1}\)
widać to nawet z rysunku

Przepraszam, ale coś mi się nie zgadza- skoro wprowadzamy współrzędne biegunowe to w tym wypadku promień jest odległością od początku układu współrzędnych. Napisał Pan że w tej połowie koła zmienia się od 0 do 1, ale biorąc punkt P(1,1)(należący do tej części) i licząc odległość wynosi ona \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Zatem nie wiem skąd wzięła się ta jedynka. Proszę o naprowadzenie.

[yorgin]

Oboje nie macie racji.

promień nie jest zależnością funkcji trygonometrycznej
\(\displaystyle{ 0 < r < 1}\)
widać to nawet z rysunku

Tak będzie o ile umieści się odpowiednio układ współrzędnych biegunowych.

Rysuje obszar całkowania, powstaje mi okrąg o środku \(\displaystyle{ O(1,0)}\), promieniu \(\displaystyle{ r=1}\).
Zatem obszarem całkowania jest połowę koła, przedział \(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\)

Prawidłowo.

Wiem że kąt będzie to: \(\displaystyle{ -\frac{ \pi }{2} \le \alpha \le \frac{ \pi }{2}}\) ponieważ to I i IV ćwiartka układu współrzędnych.
Teraz pytanie jak opisać \(\displaystyle{ r}\)?
Myślałem żeby opisać go za pomocą \(\displaystyle{ 0 \le r \le 2\cos \alpha}\)
A następnie wynik podzielić przez dwa ponieważ obszarem całkowania jest połowa koła.

Kąt ok, ale promień już nie. Po pierwsze, masz połowę koła, po drugie dzielenie przez dwa nie ma racji bytu - skąd wiesz, że wartość całki równo rozkłada się na obie połówki koła?

Jeśli chcesz trzymać się biegunowych zaczepionych w \(\displaystyle{ (0,0)}\), to zwróć uwagę na to, że dla zakresu kąta \(\displaystyle{ \left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]}\) granicą nie jest łuk okręgu, a odcinek.

Jeśli natomiast chcesz sobie znacząco uprościć wszystko, zamiast brać \(\displaystyle{ x=r\cos \alpha}\) weź \(\displaystyle{ x-1=r\cos\alpha}\). Umieścisz sobie układ współrzędnych w środku okręgu.

[konradzik012]

Dziękuje bardzo, stanowczo wole 2ga metodę

[konradzik012]

Jeśli natomiast chcesz sobie znacząco uprościć wszystko, zamiast brać \(\displaystyle{ x=r\cos \alpha}\) weź \(\displaystyle{ x-1=r\cos\alpha}\). Umieścisz sobie układ współrzędnych w środku okręgu.

Jeśli użyje tego sposobu to kąt będzie zmieniał się w zakresie

\(\displaystyle{ -\frac{ \pi }{2} \le \alpha \le \frac{ \pi }{2}}\)

czy

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} \le \alpha \le \frac{3 \pi }{2}}\)

??
Chodzi mi o to ze przesuwamy jakby te kolo do środka a mamy liczyć jego lewą część.

[yorgin]

Chodzi mi o to ze przesuwamy jakby te kolo do środka a mamy liczyć jego lewą część.

No to który przedział parametryzuje lewą część?

[konradzik012]

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} \le \alpha \le \frac{3 \pi }{2}}\)

[yorgin]

Zgadza się.