Proszę o pomoc z poniższym dowodem:
Funkcja \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) jest ciągła, a złożenie \(\displaystyle{ f \cdot f}\) ma pkt stały. Wykaż, że \(\displaystyle{ f}\) ma punkt stały.
Wykaż, że funkcja ma punkt stały.
-
szw1710
Wykaż, że funkcja ma punkt stały.
To malutka część twierdzenia Szarkowskiego W porządku Szarkowskiego mamy \(\displaystyle{ 3\prec 5\prec\dots\prec 2\prec 1}\).
Zaraz pomyślę nad wskazówką do elementarnego dowodu.
Już mam. Przypuść, że \(\displaystyle{ f}\) nie ma punktu stałego. A zatem albo \(\displaystyle{ f(x)<x}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\), albo \(\displaystyle{ f(x)>x}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\) (to wymaga dowodu). Powiedzmy, że \(\displaystyle{ f(x)<x}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\). Niech \(\displaystyle{ f\bigl(f(x_0)\bigr)=x_0}\). Skorzystaj z nierówności \(\displaystyle{ f(x)<x}\) dla \(\displaystyle{ x=f(x_0)}\). Co wnosisz?
Drugą możliwość rozważamy zupełnie tak samo.
Zaraz pomyślę nad wskazówką do elementarnego dowodu.
Już mam. Przypuść, że \(\displaystyle{ f}\) nie ma punktu stałego. A zatem albo \(\displaystyle{ f(x)<x}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\), albo \(\displaystyle{ f(x)>x}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\) (to wymaga dowodu). Powiedzmy, że \(\displaystyle{ f(x)<x}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\). Niech \(\displaystyle{ f\bigl(f(x_0)\bigr)=x_0}\). Skorzystaj z nierówności \(\displaystyle{ f(x)<x}\) dla \(\displaystyle{ x=f(x_0)}\). Co wnosisz?
Drugą możliwość rozważamy zupełnie tak samo.