Znajdź granicę lub wykaż, że nie istnieje.

[Laurence]

Czy poniższe przykłady są rozwiązane prawidłowo ?

\(\displaystyle{ 1 \right) \lim_{ x\to -2} \frac{ \left( x^{3}+2x+12 \right) \sin \left( \frac\pi x \right) }{x^2+x-2}=\lim_{ x\to -2} \frac{ x^{2}-2x+6 }{x-1} \cdot \sin \left( \frac\pi x \right) = \frac{14}{-3} \cdot -1= \frac{14}{3}}\)

\(\displaystyle{ 2 \right) \lim_{ x\to 0} \frac{\sin \left( 3x \right) }{\cos \left( \frac\pi2+x \right) }= \lim_{ x\to 0}\frac{\sin \left( 3x \right) }{3x} \cdot \frac{3x}{\cos \left( \frac\pi2+x \right) }=\lim_{ x\to 0}\frac{\sin \left( 3x \right) }{3x} \cdot \frac{3x}{\sin x}=3}\) bo dla \(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \frac{\sin x }{x}=1}\)

Proszę natomiast o pomoc z poniższymi przykładami:

3) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to +\infty } \left( \sqrt{x^2+2}- \sqrt[3]{x^3+x} \right)}\)
4) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to\pi }\sin \left( \frac{\pi}{\pi-x} \right) \cos ^2 \left( x+\pi \right)}\)
5) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 2} \frac{\sin \left( x^2-4 \right) }{x^2+x-6}}\)

[Chromosom]

1. 2. zgadza się;
3. proponuję wyłączyć \(\displaystyle{ x}\) przed pierwiastki;
4. można zastosować podstawienie \(\displaystyle{ t=\pi-x}\) i rozważać granicę w punkcie \(\displaystyle{ t=0}\);
5. należy zapisać trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.

[Laurence]

4) \(\displaystyle{ \lim_{ t\to 0}\sin \left( \frac{t+2\pi}{t} \right) \cos ^2 \left( 2\pi-t \right) = \frac{\sin \left( \frac{t+2\pi}{t} \right) }{ \frac{t}{t+2\pi} } \cdot \frac{t}{t+2\pi} \cdot \left( 1-\sin ^2 \left( 2\pi-t \right) \right) =1 \cdot 0 \cdot 1=0}\)
5) dla \(\displaystyle{ t=x-2}\), \(\displaystyle{ \lim_{ t\to 0} \frac{\sin \left( t \left( t+4 \right) \right) }{ \left( t+5 \right) t}=\lim_{ t\to 0} \frac{\sin \left( t \left( t+4 \right) \right) }{ \left( t+4 \right) t} \cdot \frac{t+4}{t+5}= \frac{4}{5}}\)

3) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to +\infty } x\left( \sqrt{1+ \frac{2}{x^2} }- \sqrt[3]{1+ \frac{1}{x^2} } \right)}\)
Po wyłączeniu x przed pierwiastki, otrzymuje powyższe równanie, jednak dalej nie wiem co z nim zrobić...

[Chromosom]

3. można skorzystać z rozwinięcia: \(\displaystyle{ a-b=\frac{a^6-b^6}{\ldots}}\) - wystarczy znajomość wzoru na różnicę \(\displaystyle{ n}\)-tych potęg;
4. błędnie dokonano podstawienia;
5. zgadza się, chociaż stosowanie podstawienia nie jest konieczne.