[Trygonometria][Nierówności] oszacowanie tangensa

[rochaj]

Pokaż że \(\displaystyle{ 4+\sqrt3>\tan80^{\circ}>\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6}\).

[Swistak]

Jest se czegoś tam pierwiastkiem, więc pewnie wystarczy do tego wielomianu podstawić te dwie strony i zobaczyć, że ten wielomian będzie tam miał różne znaki .

[kfas]

Lewą nierówność można ładnie tak:

Rysujemy trójkąt równoramienny o kącie 20 stopni przy wierzchołku i podstawie 2.
Dalej dorysowujemy dwa identyczne trójkąty odbite w ramionach tego trójkąta.

Z końców podstawy wystawiamy prostopadłe do przecięcia z bokami bocznych trójkątów
Widzimy prostokąt i trójkąt równoboczny o wysokości \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\).

Jak długi jest dłuższy bok prostokąta? Dorysowujemy na podstawie bocznego trójkąta trójkąt równoboczny o boku 2 i kawałek dwusiecznej z wierzchołka (i zauważamy, że przypadkiem trafiliśmy w środek okręgu opisanego na trójkącie ). Z nierówności trójkąta wnosimy, że ten dłuższy bok jest krótszy niż 4.

Może prawą też się da? Na razie nie umiem.