Twierdzenie Stolza - interpretacja dowodu.

[_Mithrandir]

Zarówno twierdzenie jak i jego dowód pochodzą z: "Rachunek różniczkowy i całkowy" - G. M. Fichtenholz, T. 1.

Twierdzenie Stolza:

Niech \(\displaystyle{ y_n \to \infty}\) i przy tym, chociażby od pewnego miejsca począwszy, \(\displaystyle{ y_n}\) wzrasta wraz ze wzrostem \(\displaystyle{ n}\), tzn. \(\displaystyle{ y_{n+1}>y_n}\). Wówczas:

\(\displaystyle{ \lim \frac{x_n}{y_n}=\lim \frac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}}}\),

o ile tylko istnieje granica po prawej stronie, skończona lub nawet nieskończona.

Dowód:

Załóżmy najpierw, że granica ta jest równa liczbie skończonej \(\displaystyle{ l}\),

\(\displaystyle{ \lim \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=l}\).

Wówczas dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) znajdzie się taki numer \(\displaystyle{ N}\), że dla \(\displaystyle{ n>N}\) będzie

\(\displaystyle{ \left| \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}} - l \right| < \frac{\varepsilon}{2}}\).

To znaczy, że jakiekolwiek weźmiemy \(\displaystyle{ n>N}\), wszystkie ułamki

\(\displaystyle{ \frac{x_{N+1} - x_N}{y_{N+1}-y_N}, \, \frac{x_{N+2}-x_{N+1}}{y_{N+2}-y_{N+1}}, \, ..., \, \frac{x_{n-1}-x_{n-2}}{y_{n-1}-y_{n-2}}, \, \frac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}}}\)

leżą między liczbami \(\displaystyle{ l - \frac{1}{2}\varepsilon}\) i \(\displaystyle{ l + \frac{1}{2}\varepsilon}\). Ponieważ, wobec wzrastania \(\displaystyle{ y_n}\) wraz z \(\displaystyle{ n}\), ich mianowniki są dodatnie, między tymi samymi liczbami jest zawarty ułamek

\(\displaystyle{ \frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}}\),

którego licznik jest sumą wszystkich liczników napisanych wyżej ułamków, a mianownik jest sumą wszystkich mianowników.

(...)

W tym miejscu nie rozumiem dlaczego ułamek \(\displaystyle{ \frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}}\) leży między liczbami \(\displaystyle{ l - \frac{1}{2}\varepsilon}\) i \(\displaystyle{ l + \frac{1}{2}\varepsilon}\). Jest ktoś w stanie to wytłumaczyć?

[Zordon]

Też dla mnie zawsze było zagadką czy w tym dowodzie jest taki duży skok, czy po prostu ja czegoś nie widzę...

Można udowodnić takie coś:
niech \(\displaystyle{ b,d>0}\) oraz: \(\displaystyle{ \frac{a}{b}< \frac{c}{d}}\) wtedy \(\displaystyle{ \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}}\).

Przez wielokrotne zastosowanie tego mamy co trzeba.

[_Mithrandir]

A to taki trik Powinien być dodany w książce osobny lemat na ten temat. Dzięki!

[losiu99]

Ten krok jest dokładnie opisany na PlanetMath: . Wystarczy przemnożyć nierówności dla każdego ułamka oddzielnie przez jego mianownik, po czym dodać wyniki.
Pozdrawiam!

[_Mithrandir]

Dzięki

[kuba7687]

Jak dowieść tego lematu Zordona?

[Kartezjusz]

A czy te ilorazy rozną?-- 27 września 2013, 10:36 --losiu99 pokazał gdzie znaleźć dowód.

[robertm19]

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}}\)
\(\displaystyle{ a(b+d)<b(a+c)}\)
\(\displaystyle{ ab+ad<ab+cb}\)
\(\displaystyle{ ad<cb}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}<\frac{c}{d}}\), prawda na mocy założenia.

[kuba7687]

Dzięki.

[Math_s]

Cześć, ja mam takie pytanie, ponieważ twierdzenie dotyczy wyrażeń, które są postaci \(\displaystyle{ [ \frac{ \infty }{ \infty } ]}\), więc dlaczego w dowodzie brany pod uwagę jest jedynie fakt, że \(\displaystyle{ y_{n} \rightarrow \infty}\), a to że \(\displaystyle{ x_{n} \rightarrow \infty}\) już nie?
Jeżeli jest to brane pod uwagę, to niech mnie ktoś uświadomi w którym miejscu i w jaki sposób.
Ponadto, jak wytłumaczyć fakt, że nie zadziała to twierdzenie dla innych wyrażeń nieoznaczonych?

[Edward W]

...ponieważ twierdzenie dotyczy wyrażeń, które są postaci \(\displaystyle{ [ \frac{ \infty }{ \infty } ]}\)...

W szczególności wyrażeń tej postaci. Jeśli sądzisz, że tylko tych wyrażeń, to to już musiałaś sama sobie dopowiedzieć.