Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y = 2^{x-3} - 1 \\ (y + \frac{1}{2} x -3)(y-3) = 0 \end{cases}}\)
-----------------------------------------------
Dla \(\displaystyle{ y=3}\) mamy drugie równanie tożsamościowe i wiadomo istnieje jeden punkt wspólny z równaniem pierwszym \(\displaystyle{ (5, 3)}\). Dla \(\displaystyle{ y = - \frac{1}{2}x + 3}\) podobnie, tym razem rozwiązując graficznie otrzymujemy drugie rozwiązanie \(\displaystyle{ (4, 1)}\). Czy to już wszystkie rozwiązania? Jeżeli tak to nie trzeba jakiegoś uzasadnienia, że nie ma więcej rozwiązań?
Dzięki.
Rozwiązać układ równań
-
szw1710
Rozwiązać układ równań
Mamy więc równanie \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}x+4=2^{x-3}}\). Funkcja liniowa jest malejąca, a wykładnicza rosnąca. Więc np. przenosząc wszystko na prawo masz funkcję rosnącą, która ma co najwyżej jedno miejsce zerowe. Wystarczy teraz sprawdzić, że ta prawa strona przyjmuje wartość dodatnią i przyjmuje też wartość ujemną. Resztę załatwia ciągłość i własność Darboux (tutaj wolę powołać się na tw. Bolzano-Cauchy'ego, ale nie ma różnicy).