Badanie zbieżnosci szeregów i oliczanie sumy szeregu.

[studencik]

Kilka szeregów.. prosze o pomoc, jak by ktos mogl to niech wytlumaczy to. Chodzi mi o zastosowanie kryteriów: porównawczego, Cauchy'ego, Leibnitza i d'Alemberta. Fajnie gdyby ktos odpowiedzial dzisiaj - jutro kolokwium

1. Zbadaj zbieżność szeregów: \(\displaystyle{ \bigsum_{i=1}^{\infty}\cos{\frac{1}{n^3+1}}}\), \(\displaystyle{ \bigsum_{i=1}^{\infty}\sin{\frac{1}{n^3+1}}}\).

2. Zbadaj zbieżnosć szeregów: \(\displaystyle{ \bigsum_{i=1}^{\infty}\frac{n!}{n^ne^n}}\), \(\displaystyle{ \bigsum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2}}\).

3. Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu: \(\displaystyle{ \bigsum_{i=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n+(-1)^n}}\).

4. Oblicz sumę szeregu \(\displaystyle{ \bigsum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+2n}}\).

Jesli te przyklady sie gdzies pojawily wczesniej to przepraszam. Z góry dziekuje.
[Pozwoliłam sobie usunąć pewne słowo z tematu. Przeczytaj regulamin / ariadna]

[amdrozd]

1a) Może mi sie wydaje, ale \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^\infty\cos\frac{1}{i^3+1}}\) - nie spełnia warunku koniecznego - rozbieżny...

1b) \(\displaystyle{ \lim_{n\to }\frac{\sin\frac{1}{n^3+1}}{\frac{1}{n^3+1}}=1}\) więc z porównawczego z \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^\infty\frac{1}{i^3+1}\leq\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{i^3}}\), a ten ostatni jest zbieżny.
Można również zauważyć, że dla \(\displaystyle{ alphain [0,pi)quad 0leqsinalphaleqalpha}\)

[Gobol]

2. Zbadaj zbieżnosć szeregów: \(\displaystyle{ \bigsum_{i=1}^{\infty}\frac{n!}{n^ne^n}}\),

2. Pójdzie ładnie z d'Alembarta (ale musisz pamiętać że przy badaniu rozbieżności szeregu nie musisz badać \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}\) lecz wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1}\)) lub ze wzoru stirling możesz stwierdzić ze nie spełnia warunku koniecznego

[neverek]

ten drugi szereg z drugiego zadania to z kryterium Cauchy'ego pojdzie;)...... wtedy zdaje sie bedzie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}e}\) co da nam zdaje sie szereg rozbiezny