Zbieżność jednostajna

[skolukmar]

Cześć,

Czy poniższy ciag jest zbiezny jednostajnie na \(\displaystyle{ [0,1]}\) ?
Wydaje mi się, że nie, bo nie jest zbieżny punktowo na \(\displaystyle{ 0 \le x \le \frac{1}{n}}\)

\(\displaystyle{ f_n(x) \ \ = \ \ \left\{\begin{array}{l} n^2x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \le x \le \frac{1}{n}\\-n^2+2n \ \ \ \frac{1}{n} \le x \le \frac{2}{n}\\0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \ge \frac{2}{n}\end{array}\right.}\)

[bartek118]

Jest zbieżny do funkcji zerowej na całym odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\). Aby zbadać jednostajną - spróbuj policzyć supremum z modułu tej funkcji

[skolukmar]

Czy prawdą jest to co napisałem, tzn., ze ciąg nie jest zbieżny punktowo na \(\displaystyle{ 0 \le x \le \frac{1}{n}}\) ?

W zadaniu powinno być :

\(\displaystyle{ f_n(x) \ \ = \ \ \left\{\begin{array}{l} n^2x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \le x \le \frac{1}{n}\\-n^2x+2n \ \ \ \frac{1}{n} \le x \le \frac{2}{n}\\0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \ge \frac{2}{n}\end{array}\right.}\)

[bartek118]

Nie jest prawdą. Jest zbieżny do funkcji zerowej na całym odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\).

[skolukmar]

@bartek118, mógłbym Cię prosić o początkowy krok ?

Proponujesz policzyć

\(\displaystyle{ sup_{x\in [0,1]}|f_n(x)-f_m(x)|}\)

I też rozdzielamy to na przedziały jak w def. funkcji ?

[bartek118]

Proponuję policzyć
\(\displaystyle{ \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - f(x)|,}\)
gdzie \(\displaystyle{ \forall_{x\in [0,1]} \ f(x) = 0}\). Ponadto \(\displaystyle{ f_n(x) \geq 0}\), więc:
\(\displaystyle{ \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - f(x)| = \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x)| = \sup_{x \in [0,1]} f_n(x)}\)
Policzenie supremum pozostawiam Tobie (można je też szacować z góry).

[skolukmar]

Naprawdę nie widzę dlaczego ten ciąg jest zbieżny punktowo do 0.
Przecież jak narysuję wykres ciągu funkcyjnego, to im wyższe będzie \(\displaystyle{ n}\), tym większa będzie wartość funkcji \(\displaystyle{ f_n(x)}\) dla małych \(\displaystyle{ x}\)

Nie umię tego ładnie zapisać, ale :
Patrząc na def zbieżności jednostajnej

\(\displaystyle{ \forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n > N \ \ \sup(f_n(x)-f(x)) < \epsilon}\)

w naszym przykładzie mamy \(\displaystyle{ \sup(f_n(x)-f(x)) = n}\) (Patrząc na wykres ciągu funkcyjnego), więc nie jest on jednostajnie zbieżny

[bartek118]

To, że jest zbieżna ta funkcja do \(\displaystyle{ 0}\) wynika z tego, że dla ustalonego \(\displaystyle{ x}\) od pewnego \(\displaystyle{ n_0}\) mamy \(\displaystyle{ f_n (x) = 0}\).

Co do tego supremum:
\(\displaystyle{ \sup_{x \in [0,1] } f_n (x)}\)
Dla ustalonego \(\displaystyle{ n}\) wybierając \(\displaystyle{ x = \frac{1}{n}}\), mamy: \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{n} \right) = n}\). Zatem:
\(\displaystyle{ \sup_{x \in [0,1] } f_n (x) \geq n}\)
Przechodząc teraz do granicy obustronnie, otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in [0,1] } f_n (x) = +\infty > 0,}\)
zatem ciąg nie jest zbieżny jednostajnie na \(\displaystyle{ [0,1]}\).