Podzbiory homeomorficzne

[Bartek93klm]

Proszę o pomoc w rozw. poniższych zadań

Stwierdzić któa zpodanych niżej podprzestrzeni \(\displaystyle{ R^2}\) zawiera podzbiór homeomorficzny z okręgiem:

1) \(\displaystyle{ \left\{ \left( x, \sin \frac{1}{x} \right) \in R : x \in (0,1)\right\}}\)

2) \(\displaystyle{ R^2 \setminus \bigcup \left\{(k,k+1) \times (n,n+1): n,k \in Z \right\}}\)

[torus]

Zbiór z punktu 2 zawiera podzbiór:

\(\displaystyle{ [0,1]^2\setminus (0,1)^2}\)

Jest to po prostu brzeg kwadratu, zatem jest on homeomorficzny z okręgiem.

Pierwszy zbiór nie zawiera podzbioru homeomorficznego z \(\displaystyle{ S^1}\), bo jest homeomorficzny z odcinkiem.

[yorgin]

Pierwszy zbiór nie zawiera podzbioru homeomorficznego z \(\displaystyle{ S^1}\), bo jest homeomorficzny z odcinkiem.

Ten argument nie przejdzie, gdyż jest nieprawdziwy.

Zamiast tego można stwierdzić, że dowolny spójny podzbiór danego zbioru po usunięciu jednego punktu przestaje być spójny, gdy okrąg nie traci spójności.

[liu]

yorgin, czy nie wyobraziłeś sobie przypadkiem domknięcia tego wykresu zagęszczonej sinusoidy?

[yorgin]

Wyobraziłem. Jeżeli sinusoida taka jak w zadaniu byłaby homeomorficzna z odcinkiem otwartym, to domknięcie tejże sinusoidy byłoby homeomorficzne z odcinkiem domkniętym. Ale pierwszy zbiór nie jest lokalnie spójny.

Być może korzystam gdzieś z nieprawdziwego faktu?

[liu]

Odcinek otwarty (traktowany jako podzbiór płaszczyzny) jest homeomorficzny z prostą (również traktowaną jako podzbiór płaszczyzny, z topologią podprzestrzeni). A co z domknięciem odcinka otwartego?

[yorgin]

Ok, widzę lukę. Dzięki za zwrócenie uwagi i wyprowadzenie z błędu.

[liu]

Zasygnalizowany został tutaj dość subtelny problem. Jak mamy jakąś przestrzeń topologiczną i pewną jej podprzestrzeń, to homeomorfizm tej podprzestrzeni "nie widzi" tego, w czym ta podprzestrzeń jest zanurzona. Stąd na przykład cała teoria węzłów - węzeł to w najprostszym ujęciu podprzestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) homeomorficzna z okręgiem. Gdyby z topologii okręgu wynikało zachowanie się takiego zbioru traktowanego jako podzbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\), niewiele ciekawego mieli byśmy do powiedzenia
Jak weźmiesz podręcznik do topologii/pogooglasz o rogatej sferze Alexandera, to znajdziesz ciekawy przykład - podprzestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) homeomorficzną z kulą, której dopełnienie nie jest nawet jednospójne.