zbiory domkniete

[Bartek93klm]

Czy zdanie "W przestrzeni \(\displaystyle{ X}\), jeśli \(\displaystyle{ A \subset X}\) jest w \(\displaystyle{ X}\) domknięty i \(\displaystyle{ B \subset A}\), to \(\displaystyle{ B}\) jest w \(\displaystyle{ X}\) domknięty" jest prawdiwe gdy \(\displaystyle{ X}\) jest:

a) dowolną przestrzenia topologiczna,
b) dowolną przestrzenią metryczna,
c) przestrzeń \(\displaystyle{ R^n}\) z metryką euklidesową,
d) przestrzeń \(\displaystyle{ R}\) z metryką euklidesową,
e) przestrzeń \(\displaystyle{ R}\) z metryką dyskretna,
f) przestrzeń \(\displaystyle{ R}\) z metryką banalną?

[robertm19]

W \(\displaystyle{ R}\) masz np. \(\displaystyle{ A=[0,4]}\) i \(\displaystyle{ B=(1,3)}\), to samo dla \(\displaystyle{ R^n}\). Co odrazu przekreśla odpowiedzi a i b. W przestrzeni dyskretnej wszystkie zbiory są zarówno otwarte jak i domknięte.