Równanie różnicowe

[kaktus28]

Jakie ma rozwiązanie takie równanie:
\(\displaystyle{ \bigtriangleup x(n)=a(n)x(n)}\)

[liu]

Jak to rozpiszesz to Ci wyjdzie, że
\(\displaystyle{ x(n) = x(0) \prod_{j=0}^{n-1} (1+a(j))}\)
i nic więcej nie można o tym powiedzieć, jeśli nie wiemy, jaka jest postać ciągu \(\displaystyle{ a}\).

[kaktus28]

Widziałem odpowiednik dla rownania różniczkowego:
\(\displaystyle{ x(t)= \int_{0}^{t} e^{ \int_{s}^{t} a(s)ds}ds}\)
Odpowiednikiem całki jest szereg.Jak by wyglądał odpowiednik dyskretny tego rozwiąania?

[liu]

Jakoś dziwnie wygląda ten wzór, coś jest nie tak ze zmiennymi całkowania. Do tego nie uwzględnia warunku początkowego.-- 14 września 2013, 19:40 --Jakoś dziwnie wygląda ten wzór, coś jest nie tak ze zmiennymi całkowania. Do tego nie uwzględnia warunku początkowego.

[kaktus28]

Jak to rozpiszesz to Ci wyjdzie, że
\(\displaystyle{ x(n) = x(0) \prod_{j=0}^{n-1} (1+a(j))}\)
i nic więcej nie można o tym powiedzieć, jeśli nie wiemy, jaka jest postać ciągu \(\displaystyle{ a}\).

Czy mógłby mi ktoś napisać z czego ten wzór wynika?

-- 16 wrz 2013, o 08:02 --

Czy można rozwiązanie te przedstawić za pomocą sumy a nie iloczynu?

-- 16 wrz 2013, o 17:36 --

Czy korzystając z równania :
\(\displaystyle{ (1+x) ^{n}= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{k}}\)
można zapisać:
\(\displaystyle{ e(n)=x(0) \sum_{k=0}^{n-1} {n- \choose k}a(k)^{k}}\)-- 16 wrz 2013, o 17:37 --

Jak to rozpiszesz to Ci wyjdzie, że
\(\displaystyle{ x(n) = x(0) \prod_{j=0}^{n-1} (1+a(j))}\)
i nic więcej nie można o tym powiedzieć, jeśli nie wiemy, jaka jest postać ciągu \(\displaystyle{ a}\).

Czy mógłby mi ktoś napisać z czego ten wzór wynika?

-- 16 wrz 2013, o 08:02 --

Czy można rozwiązanie te przedstawić za pomocą sumy a nie iloczynu?

-- 16 wrz 2013, o 17:36 --

Czy korzystając z równania :
\(\displaystyle{ (1+x) ^{n}= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{k}}\)
można zapisać:
\(\displaystyle{ x(n)=x(0) \sum_{k=0}^{n-1} {n-1 \choose k}a(k)^{k}}\)

[liu]

Hm, z czego wynika?

Skoro \(\displaystyle{ x(n+1) - x(n) = a(n) x(n)}\), to \(\displaystyle{ x(n+1) = (1+a(n))x(n)}\).
Rozpisując \(\displaystyle{ x(n)}\) w analogiczny sposób dostaniemy \(\displaystyle{ x(n+1) = (1+a(n))(1+a(n-1))x(n-1)}\) i tak dalej do zera dostajemy wyżej wypisany wzór.

A Twój zapis w postaci sumy, hm. To jest prawdą (z dokładnością do zmiany indeksów tak, żeby tam było tyle, ile trzeba czynników) wtedy, gdy \(\displaystyle{ a(n) = a}\) jest stałe. Nie bardzo widzę, jak chcesz zastosować dwumian Newtona do iloczynu n różnych składników. Zobacz, jak to wygląda dla na przykład \(\displaystyle{ n=3}\) i \(\displaystyle{ a(k)=k}\). Wyjdzie Ci absurd...

[kaktus28]

Ja nie mam zamiaru rozpisywać tego dwumianu.Chodzi mi że chce otrzymać rozwiązanie tego równania różnicowego z sumą (jest mi potrzebna do dalszych rozważań). A gdy a(n) nie jest stałe to ten mój wzór z sumą jest prawdziwy?

[liu]

Nie jest... \(\displaystyle{ (1+a(1))(a+a(2))}\) to nie jest to samo, co \(\displaystyle{ (1+a)^2}\).

[kaktus28]

A jak by wyglądało rozwiązanie równania tego równania tylko z stałym "a"?