Udowodnij że suma 3 liczb jest podzielna przez 3

[pawdralala]

Udowodnij, że wśród 5 dowolnych liczba naturalnych znajdują się 3, których suma jest podzielna przez 3. Z góry dzięki za pomoc/ zadanie na poziomie rozszerzonej Matematyki na mat-fizie w 1 LO

[rafaluk]

Na potrzeby zadania wyróżnijmy trzy rodzaje liczb naturalnych: oznaczmy literką \(\displaystyle{ k}\) liczbę naturalną podzielną przez 3. Wówczas \(\displaystyle{ k+1}\) będzie liczbą, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, a \(\displaystyle{ k+2}\) daje resztę 2.

Jeśli weźmiemy takich pięć liczb, że co najmniej trzy z nich są tego samego rodzaju, to warunek będzie spełniony, np.:

\(\displaystyle{ k,k,k,k+1,k+2}\)

Bierzemy trzy pierwsze \(\displaystyle{ k}\), dodajemy i, rzeczywiście, \(\displaystyle{ 3k}\) jest podzielne przez 3. Tak samo będzie z \(\displaystyle{ k+1}\) i \(\displaystyle{ k+2}\).

Zatem sprawdźmy, co będzie, jeśli wśród tych pięciu liczb nie będzie trzech tego samego rodzaju. Okazuje się, że mamy tylko trzy takie możliwości:

1: \(\displaystyle{ k,k,k+1,k+1,k+2}\)

2: \(\displaystyle{ k,k,k+1,k+2,k+2}\)

3: \(\displaystyle{ k,k+1,k+1,k+2,k+2}\)

W każdej z nich możemy znaleźć trzy takie liczby, których suma jest podzielna przez 3. Wystarczy, że dodamy do siebie \(\displaystyle{ k+(k+1)+(k+2)=3(k+1)}\).

[Marcinek665]

Nie ulega wątpliwości, że mając pewną liczbę całkowitą, może ona dawać resztę \(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\). Wystarczy zatem zapomnieć o tych liczbach, a popatrzeć jedynie na reszty, jakie one dają.

Mamy więc "zbiór", który ma \(\displaystyle{ 5}\) elementów i każdy z tych elementów to \(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) czyli np \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,0,2 \right\}}\).

Rozważmy więc dwie możliwości:

1) Istnieje liczba, która występuje w zbiorze trzy razy np \(\displaystyle{ \left\{ 0,0,2,0,2 \right\}}\). Wtedy wystarczy wziąć ją i suma odpowiadających jej liczb będzie podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).

2) Nie istnieje taka liczba, która występuje w tym zbiorze trzy razy. Wówczas każda z liczb \(\displaystyle{ 0}\),\(\displaystyle{ 1}\),\(\displaystyle{ 2}\) musi wystąpić w zbiorze co najmniej raz np. \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,0,2 \right\}}\). Wtedy wystarczy wziąć te liczby, które odpowiadają resztom \(\displaystyle{ 0}\),\(\displaystyle{ 1}\),\(\displaystyle{ 2}\) i widać, że będzie to liczba postaci \(\displaystyle{ 3k+0 + 3m+1 + 3l+2 = 3(k+m+l+1)}\) zatem podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).

up. byłeś szybszy, ale szkoda mi było już to kasować