Stożek w kuli- całka potrójna czy podwójna?

[konradzik012]

Witam,
Obliczyłem zadanie ale nie jestem pewny czy można w nim zastosować całkę podwójna. Widziałem podobne zadanie rozwiązywane całka potrójna. Proszę o odpowiedz. Dziękuje za pomoc:)

\(\displaystyle{ z=\sqrt{x^2+y^2}}\)

\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=4z}\)

\(\displaystyle{ x^2+y^2+(z-2)^2=4}\)

Funkcja ograniczająca z góry w tym wypadku to:

\(\displaystyle{ z=\sqrt{4-(x^2+y^2)}+2}\)

Funkcja ograniczająca z dołu w tym wypadku to:

\(\displaystyle{ z=\sqrt{x^2+y^2}}\)

Obliczam z:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2+z^2=4z \\ z^2=x^2+y^2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ z(z-2)=0}\)

Zatem \(\displaystyle{ z=2}\)

Przechodzę na współrzędne biegunowe:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=rcos \alpha \\ y=rsin \alpha \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \le r \le 2 \\ 0 \le \alpha \le 2 \pi \end{cases}}\)

Przechodzę do obliczania całki:

\(\displaystyle{ \int_0^2 \int_0^{2\pi} [r \sqrt{4-r^2} +2r-r^2]d \alpha dr=8\pi}\)

Z tego co widzę to całka potrójna byłby straszny problem, ponieważ kula jest przesunięta co spowodowałoby ze r nie byłby w stałych granicach.

[Ser Cubus]

żle

Po pierwsze
\(\displaystyle{ x = r \cos \phi \\
y = r \sin \phi}\)
u siebie zapomniałeś przemnożyć przez promień

Po drugie, przesunięcie okręgu o \(\displaystyle{ [a,b]}\), daje nam \(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\)
Parametryzujemy to w ten sposób:
\(\displaystyle{ x-a = r \cos \phi \\
y-b = r \sin \phi}\)

Po trzecie, w Tych przykładach całka podwójna i potrójna to ten sam stopień trudności,
zauważ, że

\(\displaystyle{ \int_{c_1}^{c_2} \int_{c_3}^{c_4} \int_{f(x,y)}^{g(x,y)} \ dx \ dy \ dz = \int_{c_1}^{c_2} \int_{c_3}^{c_4} f(x,y) - g(x,y) \ dx \ dy}\)

jak widzisz całka podwójna i potrójna w tym przykłądzie to praktycznie to samo

[konradzik012]

Faktycznie, przy przepisywaniu pominąłem r. Już poprawiam

A tym wypadku chyba przesuniecie okręgu nie wchodzi w grę ponieważ obszar rzutowany na OYX jest w postaci: (kula jest przesunięta do góry po 'z' a nie na boki)

\(\displaystyle{ x^2+y^2=4}\)