Położenie środka masy ciała.

[bogosekkk]

Witam, mam oto takie zadanie:
Ciało składa się z kwadratowej blachy o boku a i masie 0,5 kg oraz czterech przyspawanych do narożników punktowych obciążników o masach kolejno 1 kg, 2 kg, 3 kg i 4 kg (numerujemy je zgodnie z ruchem wskazówek zegara, zaczynając od lewego górnego). Oblicz położenie środka masy
ciała.

Jak coś takiego rozwiązać?

[szw1710]

Jakie metody wchodzą w grę? Patrzę na wiek i ewentualnie typ szkoły.

[bogosekkk]

Gdybym wiedział jakie mam metody do dyspozycji(liceum ostatni rok). Metoda dowolna, czym prostsza tym lepsza.
Położenie środka masy:
\(\displaystyle{ x _{śm}= \frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+...}{m_{1}+m_{2}+...}= \frac{1}{m_{układu}} \sum_{5}^{i=1}m_{i}x_{i}}\)
Z tego co mam powyżej chyba nie dojdę rozwiązania?
Jeśli mam wyznaczyć położenie środka masy, będą mi potrzebne dwie współrzędne? \(\displaystyle{ X_{śm}}\) i \(\displaystyle{ Y_{śm}}\)(bo obiekt jest dwuwymiarowy). położenie określę bokiem tego kwadratu \(\displaystyle{ a}\)?

[kruszewski]

Może taka podpowiedź?



W.Kr.

[bogosekkk]

Dziękuję! Chyba zrozumiałem! Będę posługiwał się oznaczeniami z Pana schematu:
Dla uściślenia \(\displaystyle{ m_{5}=0,5kg}\)? Czyli masa tej kwadratowej blachy bez obciążników.
Podstawiając do wzoru wychodzi mi, że odległość od prostej \(\displaystyle{ p}\) wynosi \(\displaystyle{ 0,15m}\).
Analogicznie zrobiłem tak samo dla prostej \(\displaystyle{ t}\) (która jest prostopadła do prostej p) i odległa od boku kwadratu o 10 cm.
Czyli \(\displaystyle{ R_{2}= \frac{1 \cdot 0,2+2 \cdot 0,2+3 \cdot 0,1+4 \cdot 0,1+0,5 \cdot 0,1}{1+2+3+4+0,5} \approx 0,0309524 m}\)

Czyli środkiem masy ciała jest punkt przecięcia się dwóch prostych równoległych do prostej p i t odległych kolejno o 0,15 m i 0,03095 m.
Obrazek:

Poprawne rozwiązanie? I jeszcze raz bardzo dziękuję!

[kruszewski]

A jaka długość ma bok kwadratu blachy?

[bogosekkk]

Och! No tak, nie mamy podanego boku kwadratu. (Zmyliło mnie to na schemacie, że jest napisane: np. a=10 i wbiłem sobie do głowy że jest to w poleceniu). Bok kwadratu to \(\displaystyle{ a}\).
Przyjmuję że oś p jest odległa od boku kwadratu o \(\displaystyle{ a}\) zatem:
\(\displaystyle{ R= \frac{1 \cdot 2a+2 \cdot a+ \cdot a+4 \cdot 2a+0,5 \cdot 1,5a}{10,5}=1,5a}\)
Tak samo z drugą osią. Przyjmuję, że oś \(\displaystyle{ t}\) jest oddalona o \(\displaystyle{ a}\) metrów.
i Wychodzi, że drugie \(\displaystyle{ R}\):
\(\displaystyle{ R \approx1,3095a}\)

To już prawie koniec zadania.
Może być takie rozumowanie czy nie bardzo?

[kruszewski]

To jest troszkę inaczej.
Nie podano miary krawędzi kwadratu w jednostkach długości. Krawędź ma długość k.
Przyjmując odległość prostej p od krawędzi k określamy jej odległość w jednostkach długości np w cm. Zatem odległość wektora np 4 od tej prostej to (k + ta odległość a=10 cm) Czyli moment wektora 4 względem prostej p równy jest: 4 x (krawędź k +10 cm) .
Rozwiązanie, z racji nie podania miary krawędzi musi być wyrażone w wartości krawędzi k

O ile ideę rozwiązania kolega zrozumiał, to to drugie obrachowanie jest już niefortunne.
Ale pokażę teraz jak można ułatwić sobie rozwiązanie, kiedy zna się i rozumie ową ideę.
Proszę to jeszcze raz przemyśleć.

Tu to ułatwienie.

[bogosekkk]

Teraz to już zadanie jest rozwiązane. Dziękuję bardzo. Teraz w sumie prawie przepisze to co Pan napisał. Tak to rozumiem:
Od razu można zauważyć bez żadnych obliczeń, że środek masy będzie znajdował się w połowie długości boku kwadratu od boku np. \(\displaystyle{ m_{2} m_{3}}\), wynika to z tego, że: \(\displaystyle{ m_{1}+m_{4}=m_{2}+m_{3}}\).
Co do drugiej odległości:
prowadzę oś \(\displaystyle{ p}\),która znajduje się np. na boku kwadratu \(\displaystyle{ (m_{1}m_{2})}\)
\(\displaystyle{ 10,5 \cdot R=4k+3k+ \frac{1}{4}k}\)
\(\displaystyle{ R= \frac{29}{42}k}\)
\(\displaystyle{ R \approx 0,69k}\)

Odpowiedź: Położenie środka masy znajduję się w połowie długości boku kwadratu od boku \(\displaystyle{ m_{2} m_{3}}\) i 0,69 długości boku kwadratu od boku \(\displaystyle{ m_{1} m_{2}}\).

Jak teraz na to patrzę, to na prawdę jest to proste zadanie. Jeszcze raz dziękuję.

[HaveYouMetTed]

Ja proponuję jeszcze na to spojrzeć tak. Blacha sama w sobie ma środek masy pokrywający się ze środkiem geometrycznym, który możemy z łatwością zaznaczyć na rysunku. Najistotniejsze są więc te podoczepiane 4 narożniki. Wpisałbym w takim wypadku układ współrzędnych w środku geometrycznym tej blachy i teraz znajdował klasycznie współrzędne środka masy, pomijając już istotę blachy, bo "w każdej ćwiartce" będzie ona symetryczna i w obliczeniach nieistotna.

[kruszewski]

Ale zapewne zauważy Kolega pewne komplikacje rachunkowe wynikające z tak przyjętego układu współrzędnych. Bo życzenie by początek układu był w środku geometrycznym blachy, to przyjęcie dowolnego kąta osi względem jej krawędzi. Przyjęcie równoległości osi do krawędzi pozwoli na określenie współrzędnych środka masy, ale względem tego środka geometrycznego, który trzeba określić. Zaś "wytrasowanie" środka masy całości wymaga drobnych, ale jednak wymaga, obrachunków. Zatem zysk jest wątpliwy, o czym można przekonać się wykonując wszystkie operacje rachunkowe ( nic na pamięć) dla obu przypadków i policzyć ilość wierszy w jednym i drugim rozwiązaniu.
W.Kr.
A tu taki obrazek: