Równanie niejednorodne o stałych współczynnikach

[Browning0]

Witajcie, próbuję zrobić pewne zadanie, ale wynik nie do końca zgadza się z odpowiedzią.

Muszę odnaleźć rozwiązanie następującego równania:
\(\displaystyle{ x^{\prime \prime} - 4x^{\prime} = -12t^2 + 6t - 4}\)

Zgodnie z "algorytmem" wpierw liczę rozwiązanie ogólne dla:
\(\displaystyle{ x^{\prime \prime} - 4x^{\prime} = 0}\)

Wynik (który wydaje się być zgodny z odpowiedzią):
\(\displaystyle{ x = C_{1} + C_{2}e^{4t}}\)

Przechodzę dalej:
\(\displaystyle{ x^{\prime \prime} - 4x^{\prime} = -12t^2 + 6t - 4}\)

Prawa strona równości pasuje do schematu:
\(\displaystyle{ f(t)=P_{n}(t)e^{kt}, \quad \mbox{gdzie:} \\ P_{n}(t) = -12t^2 + 6t - 4 \\ k = 0}\)

Czyli przewidywana postać rozwiązania szczególnego to:
\(\displaystyle{ t^{m}W_{n}(t)e^{kt}, \quad \mbox{gdzie:} \\ k = 0 \\ m = 1}\)
ponieważ \(\displaystyle{ 0}\) jest jednokrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego

Upraszczając:
\(\displaystyle{ x_{1} = tW}\)

Liczę dalej:
\(\displaystyle{ x_{1}^{\prime} = W \\ x_{1}^{\prime \prime} = 0}\)

Podstawiam do równania i po uproszczeniach otrzymuję:
\(\displaystyle{ W = 3t^2 - \frac{3}{2}t + 1}\)

Ostateczny wynik, po połączeniu rozwiązania szczególnego z ogólnym:
\(\displaystyle{ x = 3t^3 - \frac{3}{2}t^2 + t + C_{1} + C_{2}e^{4t}}\)

Odpowiedź z książki:
\(\displaystyle{ t^3 + t + C_{1} + C_{2}e^{4t}}\)

Gdzie popełniłem błąd? Niestety, obawiam się że to nie jest błąd rachunkowy, więc coś jest nie tak z moim "algorytmem", czegoś widocznie nie rozumiem poprawnie.

Będę wdzięczny za wszelką pomoc!

Pozdrawiam

[szw1710]

Nie czytaj symboli i znaczków, a zastosuj zasadę zdrowego rozsądku. Przewidujesz generalnie całkę szczególną w tej samej postaci, co prawa strona równania. A więc zapisz \(\displaystyle{ x(t)=at^2+bt+c}\) i przeprowadź obliczenia.

[yorgin]

szw1710, \(\displaystyle{ 0}\) jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, więc należy przewidywać rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ t(At^2+Bt+C)}\).

Browning0, fajnie, że pamiętasz te wszystkie schematy i wzory. Ja jednak nigdy nie byłem ich zwolennikiem i zawsze wolałem bardziej na rozum działać. Rzuć okiem tutaj, będziesz mieć przekrój przez różne przypadki bez zabawy w skomplikowane wzory oraz współczynniki/potęgi. Tzn do mnie to bardziej przemawia, niż Twoje wzorki.

[Browning0]

Nie chodziło Ci przypadkiem o postać \(\displaystyle{ x(t) = at^3 + bt^2 + ct + d}\)?
Wtedy rzeczywiście całość wychodzi.
No ale właśnie: czemu akurat taka postać \(\displaystyle{ x(t) = at^3 + bt^2 + ct + d}\), a nie na przykład taka jaką Ty zaproponowałeś, czyli \(\displaystyle{ x(t)=at^2+bt+c}\)?

@yorgin
Uprzedziłeś mnie =)

[yorgin]

Browning0, zauważ przy okazji, że skoro \(\displaystyle{ 0}\) jest rozwiązaniem równania charakterystycznego, to rozwiązanie szczególne postaci \(\displaystyle{ at^3+bt^2+ct+d}\) zawiera wyraz wolny, który w świetle rozwiązania nic nie wnosi, gdyż jest już uwzględniony w rozwiązaniu równania jednorodnego. Dlatego wystarczy przewidywać podaną przeze mnie postać.

[Browning0]

@yorgin
Ach, dobra, teraz już wszystko widzę.

Nie wczytałem się dokładnie w to, co mi wysłałeś, ale na pierwszy rzut oka jest to to samo z czego ja korzystam, tylko ja mam w bardziej "skondensowany" sposób wszystko zapisane:
... ywania.jpg

A błąd mój polegał na tym, że nie zwróciłem w ogóle uwagi na stopień przewidywanego wielomianu. Powinienem zauważyć, że będzie to wielomian drugiego stopnia, i że przecież powinienem z niego pochodną też liczyć, a nie traktować go jak stałą. Wtedy wszystko wyjdzie.

Dziękuję i pozdrawiam!