1. Zbadaj stabilność zagadnienia Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{du(t)}{dt}=u(t) \\ u(0)=u_0 \end{cases}}\)
względem wartości początkowej i prawej strony zaburzonych o \(\displaystyle{ \varepsilon _0}\) i \(\displaystyle{ \varepsilon (t)}\), odpowiednio na przedziale:
a) \(\displaystyle{ [0,T]}\)
b) \(\displaystyle{ [0, \infty)}\)
2. Określić punkt krytyczny i jego własności układu:
\(\displaystyle{ \frac{du_1(t)}{dt} = 2 u_2(t) - 3 u_1(t) \\
\frac{du_2(t)}{dt} = u_2(t) - 2 u_1(t)+u_1^2(t)}\)
3. Zagadnienie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{du(t)}{dt}=f(t,u(t)), t \in [t_0,T] \\ u(t_0)-u_0 \end{cases}}\)
na siatce \(\displaystyle{ t=t_0+nh, n=0, ..., N, Nh=T-t_0}\) aproksymujemy schematem: \(\displaystyle{ (f_n \equiv f(t_n,u_n))}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{u_{n+1} - u_n}{h} = \frac{1}{2}(f_{n+1}+f_n), n=0,...,N-1 \\
u_0=u_0
\end{cases}}\)
Przeprowadzić analizę tego schematu:
1) czy schemat ma jednoznaczne rozwiązanie?
2) jaki jest rząd aproksymacji?
3) czy schemat jest stabilny?
4) wykazać zbieżność i podać rząd zbieżności
5) podać algorytm rozwiązywania tego schematu
Jestem kompletnie zielona w tym i bardzo mi zależy na kompleksowym wyjaśnieniu, co i dlaczego robimy
