Równanie różniczkowe zmiennych rozdzielonych

[Browning0]

Witajcie, mam problem z pewnym równaniem. Niby wszystko robię dobrze (chyba), ale wynik poprawny nie wychodzi.

Oto moje równanie:
\(\displaystyle{ x^{\prime} = \frac{x + \sqrt{tx}}{t}}\)

1) Przekształcam je sobie do takiej postaci:
\(\displaystyle{ x^{\prime} = \frac{x}{t} + \sqrt{\frac{x}{t}}}\)

2) Podstawiając:
\(\displaystyle{ u = u(t) \\ u = \frac{x}{t} \\ u^{\prime} = \frac{x^{\prime}}{t} \\ u^{\prime}t = x^{\prime}}\)

3) Otrzymuję:
\(\displaystyle{ u^{\prime}t = u + \sqrt{u}}\)

4) Trochę przekształceń:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{u + \sqrt{u}} = \frac{\partial t}{t}}\)

5) Całkuję dwustronnie i rozwiązuję:
\(\displaystyle{ 2 \ln{\left( \sqrt{u} + 1\right) } = \ln{t} + C}\)

6) Wrzucam całość jako wykładnik \(\displaystyle{ e}\) i przekształcam:
\(\displaystyle{ u = \left( E\sqrt{t} - 1\right)^2}\)
gdzie \(\displaystyle{ E = \sqrt{e^C}}\)

7) Wracając do x:
\(\displaystyle{ x = t\left( E\sqrt{t} - 1\right)^2, \quad E \in \mathbb{R}}\)

A to, jak można sprawdzić, nie jest rozwiązanie tego równania.
Nie potrafię znaleźć błędu ani w rozumowaniu ani w obliczeniach. Ponumerowałem moje kroki aby łatwiej było się do nich odnieść.

Będę bardzo wdzięczny za pomoc w odnalezieniu błędu!

Pozdrawiam

[yorgin]

2) Podstawiając:
\(\displaystyle{ u = u(t) \\ u = \frac{x}{t} \\ u^{\prime} = \frac{x^{\prime}}{t} \\ u^{\prime}t = x^{\prime}}\)

\(\displaystyle{ u=\frac{x}{t}\\
\\
ut=x\\
\\
x'=u't+u}\)

[Browning0]

Tak czułem że tutaj jest coś nie halo, w pozostałych częściach zadania już raczej bym błędu nie zrobił... Dziękuję bardzo i pozdrawiam!