Szeregi potegowe zespolone

[Bartek93klm]

Witam, prosze o pomoc w wyznaczeniu przedzialów zbieżności szeregów (prosiłbym o rozpisanie co i jak lub jakies wskazówki, np czy najpierw szukać tego wyrazu \(\displaystyle{ a_n}\) czy wstawiać do wzoru na promień całość z niewiadomą, ponieważ nie mam pojęcia skąd sie co bierze, a w google są tylko proste przykłady) z góry dziękuję

1) \(\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty} \frac{x^n}{1+x^{2n}}}\) \(\displaystyle{ x \in R}\)
2) \(\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty} \frac{z^{n^2}}{n^2}}\) \(\displaystyle{ z \in C}\)
3) \(\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty} \frac{z^{n!}}{n!}}\) \(\displaystyle{ z \in C}\)
4) \(\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty} \frac{ \left( z-i \right) ^{n+1}}{n^n + \frac{1}{n}}}\) \(\displaystyle{ z \in C}\)
5) \(\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty} \frac{ \left( z+i \right) ^{n^2}}{2^{n^2}}}\) \(\displaystyle{ z \in C}\)
6) \(\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty} \left( \frac{z^n}{n}+\frac{ \left( z-2 \right) ^n}{n} \right)}\) \(\displaystyle{ z \in C}\)
7) \(\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty} \left( \frac{2z^n}{n}+\frac{ \left( z+1 \right) ^n}{n} \right)}\) \(\displaystyle{ z \in C}\)
8) \(\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty} \left( \frac{z^n}{2^n}+\frac{ \left( z-1 \right) ^n}{3^n} \right)}\) \(\displaystyle{ z \in C}\)
9) \(\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty} \left( \frac{ \left( 4^n+ \left( -2 \right) ^n \right) \left( z-1 \right) ^n}{2^{n}n}}\) \(\displaystyle{ z \in C}\)
10) \(\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty} \left( \frac{z^n}{n^2}+\frac{ \left( 2z-1 \right) ^n}{n^2+1} \right)}\) \(\displaystyle{ z \in C}\)

Bardzo prosze o pomoc.

[miodzio1988]

jeszcze wiecej wrzuc.

Wzor na promien zbieznosci mamy jaki?

[Barbara777]

jeszcze wiecej wrzuc.
Wzor na promien zbieznosci mamy jaki?

Tak ale tu daleko nie wszystkie szeregi sa potegowe.
*

Bartek93klm witojcie!
Powtarzamy sobie material Dla szeregow o wyrazach dodatnich \(\displaystyle{ \sum a_n}\) mamy dwa (jest ich oczywiscie duzo wiecej) przyjemne kryteria zbieznosci
* Kryterium ilorazowe (d'Alembert)
Badamy granice (o ile istnieje)
\(\displaystyle{ g=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}}\)
Jesli \(\displaystyle{ g<1}\) to szereg jest zbiezny, jesli \(\displaystyle{ g>1}\), to rozbiezny, a jesli \(\displaystyle{ g=1}\), to kryterium rozstrzyga, czy szereg jest zbiezny.

* Kryterium pierwiastkowe (Cauchy)
Badany granice

\(\displaystyle{ g=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}}\)
i potem tak jak w kryterium ilorazowym.

Z tych dwoch kryteriow wynikaja wzory na promien zbieznosci szeregow potegowych:

\(\displaystyle{ \frac{1}{R}= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{R}= \lim_{n\to\infty}\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big|}\)

Przy pomocy tych wzorow mozesz zrobic zadanka 4) i 5) i 9) a takze 6) 7) i 8), te ostatnie rozbijajac na dwa.
Dla przykladu machniemy

4)

Srodek okregu to \(\displaystyle{ z_0=i}\), \(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{n^n+\frac{1}{n}}}\)

Liczymy promien zbieznosci \(\displaystyle{ R}\):

\(\displaystyle{ \frac{1}{R}= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\Big|\frac{1}{n^n+\frac{1}{n}}\Big|}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n^n+\frac{1}{n}}}=0}\)

czyli \(\displaystyle{ R=\infty}\), czyli szereg jest zbiezny bezwzglednie dla wszyetkich \(\displaystyle{ z\in\mathbb{C}}\)

Dla pewnosci powtorzymy jeszcze to :
Definicja. Szereg liczbowy jest zbiezny bezwzglednie, jesli szereg utworzony z wartosci bezwzglednych jest zbiezny.
Twierdzenie. Jesli szereg jest zbiezny bezwglednie, to jest zbiezny.
Definicja. Szereg, ktory jest zbiezny, ale nie jest zbiezny bezwzglednie nazywa sie szergiem zbieznym warunkowo.

Szeregi 1) 2) i 3) nie sa potegowe, nie da sie ich tez rozbic na szeregi potegowe. Czyli wzorki na promien zbieznosci nie dzialaja. Zbadac te szeregi mozna bezposrednio.
Jako przyklad wezmiemy

1). Badamy szereg modulow

\(\displaystyle{ \Big|\frac{x^n}{1+x^{2n}}\Big|=\frac{|x|^n}{1+x^{2n}}}\)

Kryterium pierwiastkowe

\(\displaystyle{ g=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{|x|^n}{1+x^{2n}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{\sqrt[n]{1+x^{2n}}}}= \begin{cases} |x| \hspace{4mm}\textrm{przy} |x|\leq 1\\ \frac{1}{|x|}\hspace{4mm}\textrm{przy} |x|>1 \end{cases}}\)

Czyli \(\displaystyle{ g}\) jest mniejsze od 1 dla \(\displaystyle{ x}\) takich, ze \(\displaystyle{ |x|\neq 1}\) i dla takich \(\displaystyle{ x}\) szereg jest zbiezny bezwzglednie).
Teraz trzeba jeszcze zobaczyc, co sie dzieje dla \(\displaystyle{ |x|=1}\) czyli \(\displaystyle{ x=-1}\) i \(\displaystyle{ x=1}\)

Wstawiamy te wartosci kolejno i badamy:

\(\displaystyle{ x=-1}\)

\(\displaystyle{ \sum\frac{1^n}{1+1^n}}\) rozbiezny szereg
\(\displaystyle{ \sum\frac{(-1)^n}{1+1^n}}\) rozbiezny szereg

(Bo w obu tych szeregach wyraz ogolny nie dazy do zera)

I tak sobie rozwiaz pozostale. Tylko jeszcze taka ogolna uwaga: Jak masz szereg rzeczywisty, to mozna sobie latwo zbadac zbieznosc na koncach przedzialu, tak jak tu zrobilam w x=1 i x= -1. Sprawa nie jest prosta, jak sie ma szereg zespolony, bo tam nie ma "koncow", a caly okrag. To na ogol sa trudne badania.

[Bartek93klm]

Dziękuję bardzo, rozwiązuje te szeregi o wyrazach zespolonych, i o ile obliczam z wzorów na promień to nie problemów, zatrzymał mnie jednak przykłąd 3 ponieważ korzystam z kryt d'Alemberta żeby wzyanczyć jakiś moduł z i go uzależnić od jakiś wartości ale pozostaje mi granica z któa nie wiem za bardzo co mam zrobić. Prosze o pomoc

[Barbara777]

To fajnie, ze ci dobrze idzie!

A co do 3), jesli chcesz ilorazowym:

\(\displaystyle{ \frac{|z|^{(n+1)!}}{(n+1)!}\frac{n!}{|z|^{n!}}=\frac{|z|^{n!(n+1)}\;n!}{n!(n+1)|z|^{n!}}=\frac{|z|^{n!n}|z|^{n!}}{|z|^{ n!}(n+1)}=\frac{|z|^{n!n}}{n+1}}\)

a to zmierza (przy \(\displaystyle{ n}\) dazacym do nieskonczonosci) do zera gdy \(\displaystyle{ |z|\leq 1}\) i do nieskonczonosci przy \(\displaystyle{ |z|>1}\).

Ukryta treść:    

Передай, пожалуйста, привет Владивостоку !