Całka krzywoliniowa

[konradzik012]

Witam,
W każdym punkcie A elipsy \(\displaystyle{ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} =1}\) działa siła F, której wielkość jest równa odległości punktu A od środka elipsy i skierowana jest do środka elipsy. Obliczyć pracę siły F wzdłuż łuku tej elipsy, który znajduje się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych i jest zorientowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara.


Zaczynam zadanie w sposób:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2\cos t \\ y=3\sin t \\ \frac{ \pi }{2} \le t \le \pi \end{cases}}\)

Rysuje elipsę, skierowanie nie zgadza się z ruchem wskazówek zegara, więc do wyniku dopiszę minus.

Nie mam pojęcia po czym liczyć całkę. Zastanawiałem się nad \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9}}\) ale nie mam pojęcia czy można pominąć tą jedynkę. Proszę o pomoc.

[yorgin]

Coś podobnego: 342167.htm, 342160.htm

W pierwszej kolejności powinieneś wyznaczyć siłę \(\displaystyle{ F}\).

Potem masz do policzenia całkę krzywoliniową

\(\displaystyle{ \int_\gamma \vec{F}(\vec{r})\circ \vec{r}=\int_\gamma F_xdx+F_ydy}\)

Parametryzajcę łuku elipsy masz poprawnie, uwaga o minusie jest poprawna. Ale dalej?

Nie mam pojęcia po czym liczyć całkę. Zastanawiałem się nad \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9}}\)ale nie mam pojęcia czy można pominąć tą jedynkę.

To, po czym całkujesz, masz już podane, ale mimo to pytasz o całkowanie po całce?

[konradzik012]

Zatem wartość tej siły to: \(\displaystyle{ |\vec{F}|=\sqrt{x^2+y^2}}\)

A wektor \(\displaystyle{ \vec{r}=[-x,-y]}\)

Mam problem z \(\displaystyle{ \vec{F}(\vec{r})}\), ile będzie wyniosić?

[yorgin]

Wartość siły jest ok, ale wektor \(\displaystyle{ \vec{r}}\) to po prostu \(\displaystyle{ \vec{r}=[x,y]}\).

Zastanów się, czy \(\displaystyle{ \vec{F}=[-x,-y]}\) ma sens, i czy jest w przypadku tego zadania jakoś pomocne.

[konradzik012]

Nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ \vec{r}=[x,y]}\) przecież punkt \(\displaystyle{ A(x,y)}\) oraz środek to \(\displaystyle{ O(0,0)}\), kierunek do środka elipsy.
Zatem A to początek wektora, O to koniec wektora. Więc wektor r to:
\(\displaystyle{ \vec{AO}=[0-x,0-y]=[-x,-y]}\)

[yorgin]

Przez \(\displaystyle{ \vec{r}}\) zwykło się oznaczać położenie danego obiektu. Skoro jest on w punkcie \(\displaystyle{ (x,y)}\), to \(\displaystyle{ \vec{r}=[x,y]}\) i to jest logiczne. To co Ty opisujesz, to jest wektor siły, a nie wektor położenia.

[konradzik012]

Więc mam już że:
Wartość siły to:
\(\displaystyle{ |\vec{F}|=\sqrt{x^2+y^2}}\)
Wektor położenia to:
\(\displaystyle{ \vec{r}=[x,y]}\)
Wektor siły to:
\(\displaystyle{ \vec{F}=[-x,-y]}\)

Zastanów się, czy \(\displaystyle{ \vec{F}=[-x,-y]}\) ma sens, i czy jest w przypadku tego zadania jakoś pomocne.

Nie mam pojęcia czy w tym wypadku jest jakoś pomocne.

Niestety nie wiem jak dalej to ruszyć. Proszę o dalszą pomoc.

[yorgin]

Nie mam pojęcia czy w tym wypadku jest jakoś pomocne.

Spójrz na wektor siły, który wypisałeś oraz na wektor siły, który ja wypisałem.

Niestety nie wiem jak dalej to ruszyć. Proszę o dalszą pomoc.

Układasz i obliczasz odpowiednią całkę krzywoliniową.

[konradzik012]

Spójrz na wektor siły, który wypisałeś oraz na wektor siły, który ja wypisałem.

Zastanów się, czy \(\displaystyle{ \vec{F}=[-x,-y]}\) ma sens, i czy jest w przypadku tego zadania jakoś pomocne.

Wektor siły to:
\(\displaystyle{ \vec{F}=[-x,-y]}\)

Wypisałem ten sam wektor co Pan. (Chyba ze chodzi o porównanie wektorów- położenia oraz siły. Maja przeciwne znaki. )

[yorgin]

Chodziło mi konkretnie o wektor siły.

Mamy więc sprecyzowany dokładnie wektor siły, brak jedynie wyznaczenia całki. A do tego wystarczy podstawić do wzoru na zamianę całki krzywoliniowej na pojedynczą. Te znajdziesz wszędzie.

[konradzik012]

Zatem:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} -xdx-ydy=\int_{ \frac{ \pi }{2} }^{ \pi }[ (-2 \cos t )(-2 \sin t )-(3 \sin t )(3\cos t)]dt}\)
Obliczanie dokończę sobie już sam, bardzo dziękuje za pomoc.

[yorgin]

Całeczka oraz zamiana jest ok. Reszta to tylko nudne rachunki