Grupy cykliczne, rząd, generator...

[Matthew69]

Cześć Matematycy

Jak ugryźć to zadanko?

Czy grupa \(\displaystyle{ \Phi(25)}\) jest cykliczna? Wyznacz rząd elementu \(\displaystyle{ a=6}\) i podgrupę generowaną przez ten element oraz warstwy grupy ilorazowej \(\displaystyle{ \Phi(25)/(6)}\)

Z góry dziękuje za pomoc

[93Michu93]

Jeżeli \(\displaystyle{ \Phi(25)}\) to grupa z mnożeniem to rzędem elementu \(\displaystyle{ 6}\) będzie \(\displaystyle{ 5}\) bo \(\displaystyle{ 6^{5} mod 25 = 1 = e}\)
Żeby sprawdzić czy jest cykliczna to jest takie twierdzenie, że jeżeli rząd grupy jest liczbą pierwszą to grupa jest cykliczna, więc trzeba policzyć elementy tej grupy. Jeżeli ich liczba jest liczbą pierwszą to grupa jest cykliczna.
Podgrupa generowana przez \(\displaystyle{ 6}\) : \(\displaystyle{ G=\left\{ 1, 6, 11, 16, 21\right\}}\)

[Matthew69]

\(\displaystyle{ \Phi(25)=25(1- \frac{1}{5} )=20}\)
\(\displaystyle{ \Phi(25)=\left\{ 1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19,21,22,23,24\right\}}\)

\(\displaystyle{ 6^{2} =11}\)
\(\displaystyle{ 6^{3} =16}\)
\(\displaystyle{ 6^{4} =21}\)
\(\displaystyle{ 6^{5} =1}\)

\(\displaystyle{ rz \ 6=5}\)

O coś takiego chodzi? A jak warstwy wyznaczyć?

[93Michu93]

OK, czyli jest dobrze. Warstwy zaraz dopisze, tylko sobie przypomnę

[Matthew69]

\(\displaystyle{ H \ = \ (6)=\left\{ 6^{0},6^{1},6^{2},6^{3},6^{4}, \right\}=\left\{ 1,6,11,16,21\right\}}\)
\(\displaystyle{ 1H=\left\{ 1,6,11,16,21\right\}=H}\)
\(\displaystyle{ 2H=\left\{ 2,12,22,7,17\right\}}\)
\(\displaystyle{ 3H=\left\{ 3,18,8,23,13\right\}}\)
\(\displaystyle{ 4H=\left\{ 4,24,19,14,9\right\}}\)

Dobrze?

[93Michu93]

Dobrze

[Matthew69]

A taka grupa nie jest cykliczna?
\(\displaystyle{ \Phi(12)=12(1- \frac{1}{2})(1- \frac{1}{3})=4}\)
\(\displaystyle{ \Phi(12)=\left\{ 1,5,7,11\right\}}\)

\(\displaystyle{ dla \ 1 \ rz \ 1=1}\)

\(\displaystyle{ dla \ 5 \ rz \ 5=2}\)

\(\displaystyle{ dla \ 7 \ rz \ 7=2}\)

\(\displaystyle{ dla \ 11 \ rz \ 11=2}\)

[93Michu93]

Nie jest cykliczna bo np. rząd elementu \(\displaystyle{ 5}\) to \(\displaystyle{ 2}\), a \(\displaystyle{ 2}\) nie należy do grupy

[Vardamir]

Jeżeli \(\displaystyle{ \Phi(25)}\) to grupa z mnożeniem to rzędem elementu \(\displaystyle{ 6}\) będzie \(\displaystyle{ 5}\) bo \(\displaystyle{ 6^{5} \pmod{25} = 1 = e}\)

Mnożeniem modulo 25.

Żeby sprawdzić czy jest cykliczna to jest takie twierdzenie, że jeżeli rząd grupy jest liczbą pierwszą to grupa jest cykliczna, więc trzeba policzyć elementy tej grupy. Jeżeli ich liczba jest liczbą pierwszą to grupa jest cykliczna.

To jest pewna własność, jednak twierdzenie w drugą stronę nie jest prawdziwe i naleźy o tym pamiętać. Grupa \(\displaystyle{ \Phi(25)}\) jest cykliczna.

Nie jest cykliczna bo np. rząd elementu \(\displaystyle{ 5}\) to \(\displaystyle{ 2}\), a \(\displaystyle{ 2}\) nie należy do grupy

Co to za głupoty? Ten argument nie ma sensu.

Do autora:
Grupa jest cykliczna gdy istnieje taki element \(\displaystyle{ g \in G}\) , taki że każdy element \(\displaystyle{ a \in G}\) tej grupy można przedstawić jako \(\displaystyle{ g^k=a}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) . To jest przypadek ogólny.
Natomiast ograniczając się do grup skończonych (czyli takich, o które pytasz) wystarczy sprawdzić czy istnieje w grupie element którego rząd jest równy rzędowi grupy.