Różniczkowalność funkcji dwóch zmiennych w punkcie

[jadwiziga]

Mam zbadać różniczkowalność funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ (1,0)}\), jeśli:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} y+\frac{(\ln(x))y}{(x-1)^2+y^2}, \ (x,y) \neq (1,0), \ x>0
\\ 0, \ (x,y)=(1,0) \end{cases}}\)
Najpierw badam ciągłość: \(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (1,0) } y+\frac{(\ln(x))y}{(x-1)^2+y^2}}\) podstawiam \(\displaystyle{ t=x-1}\) więc mam \(\displaystyle{ \lim_{(t,y) \to (0,0) } y+\frac{(\ln(t+1))y}{t^2+y^2} \le \lim_{(t,y) \to (0,0) } y+\frac{ty}{t^2+y^2}}\) podstawiam \(\displaystyle{ x=r\cos \alpha \wedge y=r\sin \alpha}\) więc mam \(\displaystyle{ \lim_{r \to 0} r\sin \alpha +\frac{r^2\sin \alpha cos \alpha }{r^2}=\sin \alpha \cos \alpha}\) co nie zmierza do zera więc funkcja nie jest ciągła. Czy mógłby ktoś sprawdzić czy to jest dobrze??

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ t=r \sin \alpha}\)ale ogólnie nie mam zastrzeżeń.