punkt nalezacy do domkniecia

[kameleon99]

Mam problem z udowodnieniem takiego twierdzenia.
Niech \(\displaystyle{ X}\) bedzie podzbiorem przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (M,d)}\) wtedy element \(\displaystyle{ x \in Cl(X)}\) wtedy i tylko wtedy gdy jest granica pewnego ciagu elementow w \(\displaystyle{ X}\).
Dowod:
Zalozmy, ze ciag \(\displaystyle{ \left\{ x_n\right\} \subseteq X}\) z tego ze \(\displaystyle{ X \subseteq Cl(X)}\) wynika, ze \(\displaystyle{ \left\{ x_n\right\} \subseteq Cl(X)}\). Oczywiscie domkniecie zbioru jest zbiorem domknietym, a zbior domkniety zawiera granice wszystkich zbieznych ciagow punktow zatem \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } x_n = x \in Cl(X)}\)
Nie potrafie przeprowadzic tego dowodu w druga strone.
Moglbym prosic, zeby ktos mi go wyskrobal na szybko bo potrzebuje go na jutro, a nie mam za bardzo czasu, zeby sie nad nim dlugo zastanawiac :/

[Spektralny]

Niech \(\displaystyle{ X\subseteq M}\) będzie dowolnym zbiorem oraz \(\displaystyle{ x\in \mbox{cl}\,X}\). Twierdzę, że istnieje taki ciąg \(\displaystyle{ (x_n)_{n=1}^\infty\subset X}\), że \(\displaystyle{ d(x,x_n)\to 0}\), gdy \(\displaystyle{ n\to \infty}\). Załóżmy dla hecy, że taki ciąg nie istnieje. Wówczas istnieje takie \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\), że \(\displaystyle{ d(x,y)\geqslant \varepsilon}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ y\in X}\). Oznacza to, że zbiór \(\displaystyle{ F=M\setminus K(x, \tfrac{\varepsilon}{2})}\) jest domknięty (\(\displaystyle{ K(x, \tfrac{\varepsilon}{2})}\) oznacza kulę otwartą o środku w \(\displaystyle{ x}\) i promieniu \(\displaystyle{ \tfrac{\varepsilon}{2}}\)) oraz naturalnie nie zawiera \(\displaystyle{ x}\) jednak zawiera całe \(\displaystyle{ X}\). Punkt \(\displaystyle{ x}\) nie może zatem należeć do domknięcia \(\displaystyle{ X}\), gdyż musiałby również należeć do \(\displaystyle{ F}\).

[kameleon99]

Dzieki wielkie nawet nie wiesz jak bardzo mi pomogles