Układ równań z zależnością od parametru.

[19bartek92]

Witam, mam problem z rozwiązaniem układu równań będę bardzo wdzięczny za pomoc. Z góry dzięki!

Rozwiąż podany układ równań w zależności od parametru rzeczywistego s tzn. jeżeli są rozwiązania to podaj je:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+\left( 2-3 \cdot s+ s^{2} \right) \cdot z = 3 -s \\ 2 \cdot x+y=8 \\
\left( 2-3 \cdot s+s ^{2} \right) \cdot z=1-s \end{cases}}\)

[yorgin]

Ostatnie równanie jest tylko na \(\displaystyle{ z}\), więc możesz je wyznaczyć i podstawić do pierwszego. Z tego masz \(\displaystyle{ x}\) i potem wstawiasz do drugiego.

[Gouranga]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+\left( 2-3 \cdot s+ s^{2} \right) \cdot z = 3 -s \\ 2 \cdot x+y=8 \\ \left( 2-3 \cdot s+s ^{2} \right) \cdot z=1-s \end{cases}
\\
(s^2 -3s + 2)z = -s+1\\
\Delta = 9-8=1\\
\sqrt{\Delta} = 1\\
s_1 = \frac{3-1}{2} = 1\\
s_2 = \frac{3+1}{2} = 2\\
\\
(s-1)(s-2)z = -(s-1)\\
(s-2)z = -1\\
\begin{cases}
z = -\frac{1}{s-2} \text{ dla } s \ne 1 \wedge s \ne 2\\
z = 0 \text{ dla } s=1\\
\text{sprzeczne dla }s=2\end{cases}}\)
teraz przypadek z \(\displaystyle{ s=1}\) rozpatrujesz osobno i z \(\displaystyle{ z = -\frac{1}{s-2}}\) osobno wstawiając do pierwszego równania, które jest tylko na \(\displaystyle{ x \text{ i } z}\)

[19bartek92]

Ok a co w przypadku gdy nie mam przykładu z "samotnym z"? np.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 \cdot x+\left( s ^{2} + s - 2 \right) \cdot z = 11 + s \\
2 \cdot x+y=8 \\
2 \cdot x + \left( s-2+s ^{2} \right) \cdot z = s+8
\end{cases}}\)

Prawdopodobnie się mylę ale czy nie istnieje jakiś sposób rozwiązywania tego typu układu metodą Gaussa?

[yorgin]

Istnieje. Możesz rozwiązywać takie układy metodą Gaussa i to jest jak najbardziej dobra droga. Możesz równie dobrze przez podstawianie albo zastosować wyznaczniki. Wszystko zadziała.

Ja w kolejnym przykładzie od ręki widzę, że \(\displaystyle{ x=3}\) oraz \(\displaystyle{ y=2}\). Wystarczy odjąć pierwszy wiersz z trzecim.

[19bartek92]

Ja niestety nie potrafię zobaczyć tak od ręki

Jak sobie poradzić w kreowaniu macierzy? Chodzi mi o nawias przy z.

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&0 & s ^{2}+s-2 & 11+s \\
2&1&0&8 \\
2&0 & s-2+ s ^{2} & s+8
\end{bmatrix}}\)

Tak powinna wyglądać macierz dla kolejności x y z? Jak się za to zabrać?
Wybaczcie mi proszę być może głupie pytania zależy mi jednak na rozwiązaniu tego Gaussem.

[yorgin]

Macierz masz poprawnie wypisaną.

Nie znasz Gaussa? Kilka przykładów masz na . Prześledź je, pomogą Ci w zrozumieniu metody.

[Gouranga]

wyznaczniki się ładnie liczy, bo \(\displaystyle{ W, W_x \text{ i } W_z}\) będzie można z Laplace'a rozwijać względem drugiej kolumny, \(\displaystyle{ W_y}\) będzie ciężej ale już na oko widać, że w 2 kolumnie da się łatwo wygenerować jedno zero