Pole części powierzchni

[superziom123]

Oblicz pole częsci powierzchni \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} +z ^{2}=1}\), która znajduje się wewnątrz powierzchni o równaniu \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} -z ^{2}=0}\)

Jak ugryźć to zadanie? można to policzyć z całki podwójnej i wzoru na pole powierzchni czy trzeba skorzystać z całki powierzchniowej? Jeśli tak to z jakiego wzoru tu skorzystać?

[Barbara777]

Calka powierzchniowa, ktora tu latwo zamieni sie w calke podwojna.
\(\displaystyle{ |A|=\iint_{\mathcal{S}}1\;dS =\iint_D\sqrt{1+\Big(\frac{\partial f}{\partial x}\Big)^2+\Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big)^2}dxdy}\)

Twoja \(\displaystyle{ f}\) to \(\displaystyle{ f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}}\) (to jest \(\displaystyle{ z}\) wyliczone z rowania sfery \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=1}\))


Masz czesc sfery, ktora jest wycieta stozkiem. Znajdz sobie rzut tej czsci na plasczyzne \(\displaystyle{ 0xy}\). Jak? Zestaw uklad z tych dwu rownan powierzchni i wyjdzie ci okrag. Obszar calkowania \(\displaystyle{ D}\) to bedzie kolo ograniczone tym okregiem.

[superziom123]

Mam jeszcze jedno pytanie: Czy jak już przejdę na całkę podwójną to mogę zastosować współrzędne \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ \varphi}\) i normlanie zamienić \(\displaystyle{ x=rcos \varphi}\) \(\displaystyle{ y=rsin \varphi}\) i \(\displaystyle{ J=r}\)?

pochodne wyszły: \(\displaystyle{ \frac{-x}{ \sqrt{1+ x^{2} + y^{2} } }}\) i \(\displaystyle{ \frac{-y}{ \sqrt{1+ x^{2} + y^{2} } }}\)

promień wyliczyłem i wyszedł \(\displaystyle{ r= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

obszar całkowania: \(\displaystyle{ 0 \le r \le \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) i \(\displaystyle{ 0 \le \varphi \le 2 \pi}\)

i ostatecznie całka \(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } \int_{0}^{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } \frac{r}{ \sqrt{} 1- r^{2} }dr d\varphi}\) ?

[Barbara777]

Tak, dobrze myslisz, tu az sie prosza wspolrzedne biegunowe.
W pochodnych czastkowych pod pierwiastkiem masz plusy zamiast minusow, ale ostatnia calka jakims cudem jest dobrze.
Pewnie zwykla omylka przy wklepywaniu

[superziom123]

tak, dzięki, za szybko chciałem rozwiązać . Wynik na końcu ten sam bo do kwadratu podniosłem