Objętość bryły (niestandardowa)

[szprot_w_oleju]

Witam, nie mogę sobie poradzić z jednym zadaniem, by policzyc objetosc bryly ograniczonej powierzchniami:

\(\displaystyle{ 2z= x^{2} + y^{2}}\) i \(\displaystyle{ y+z=4}\)
Chodzi o to że ta plaszczyzna przecina pod kątem tę paraboloidę i nie wiem jak wyznaczyć obszar calkowania oraz nie wiem też co całkować.
Prosze o pomoc.

[Ser Cubus]

masz 2 opcje, sparametryzować daną zmienną za pomocą 2 innych lub całkować po xyz

weźmy drugi wariant

\(\displaystyle{ V = \int \int_V \int \ dV\\
z = 0.5x^2 + 0.5y^2\\
z = 4-y}\)

robisz rysnek, liczysz pkt przecięcia.

\(\displaystyle{ 0.5x^2 + 0.5y^2 < z < 4-y \\}\)

teraz musisz to zrzutować na płaszczyznę XY i określić zakres x oraz y (dla jednej z tych zmiennych będzie to funkcja zależna od drugiej)

zwróc uwagę na kolejność po jakich zmiennych całkujesz, teraz już widać, że najpierw po z, ponieważ jest zależny od 2 pozostałych zmiennych

Możliwe też, że przydadzą się tutaj wsp. biegunowe

[szprot_w_oleju]

Mam to zadanie przy calkach podwójnych... Dalej nie mam pojecia jak to ugryźć.

[Ser Cubus]

więc \(\displaystyle{ V = \int \int_S 4-y - (0.5x^2 + 0.5y^2) \ dS}\)

wyznacz x oraz y

[szprot_w_oleju]

Obszar calkowania to bedzie elipsa?

[Ser Cubus]

ale nie cała, prosta ją przetnie

[szprot_w_oleju]

takie 'jajko'? Jak to można zapisac? Bo ja się poddaje...

[Ser Cubus]

przepraszam, mój poprzedni post mógł wprowadzić w błąd, to będzie całe 'jajko'

można by przejść na współrzędne cylindryczne i ograniczyć 'z' z dołu paraboloidą, a z góry płaszczyzną