Podzgrupy liczb calkowitych.

[kameleon99]

Witam mam takie o to twierdzenie do udowodnienia
Niech \(\displaystyle{ (\ZZ , + )}\) bedzie grupa wtedy kazda nietrywialna podgrupa \(\displaystyle{ \ZZ}\) jest posraci \(\displaystyle{ n\ZZ}\)

Dowod:
Niech H bedzie nietrywialna podgrupa \(\displaystyle{ \ZZ}\). Z nietrywialnosci \(\displaystyle{ H}\) mamy, ze \(\displaystyle{ \exists m \in \ZZ : m \neq 0 : m \in H}\). Z tego, ze \(\displaystyle{ H}\) jest grupa mamy tez, ze \(\displaystyle{ -m \in H}\). Zatem zbior \(\displaystyle{ H \cap \ZZ \neq \emptyset}\) czyli z zasady minimum posiada element najmniejszy oznaczmy go jako \(\displaystyle{ n}\). Wtedy \(\displaystyle{ \forall a \in \ZZ :an \in H}\) co za tym idzie \(\displaystyle{ n\ZZ \subseteq H}\)
Niech teraz \(\displaystyle{ m \in H\setminus n\ZZ : m \neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ -m \in H\setminus n\ZZ}\)
Rozwazmy \(\displaystyle{ m > 0}\) wtedy z teorii podzielnosci mamy, ze \(\displaystyle{ m=qn +}\)r gdzie \(\displaystyle{ 0\le r < q}\). Przyjmijmy, ze \(\displaystyle{ r=0}\) wtedy \(\displaystyle{ m=qn \in n\ZZ}\)
Ponadto \(\displaystyle{ r=m-qn \in H}\) i co oznaczaloby, ze \(\displaystyle{ n}\) nie jest najmniejszym elementem w \(\displaystyle{ H \cap \ZZ}\) zatem \(\displaystyle{ H \setminus n\ZZ = \emptyset}\) czyli \(\displaystyle{ H \subseteq n\ZZ}\)

CZy ten dowod jest poprawny?

[szw1710]

O tyle, o ile. Wiele tu drobnych błędów. W pierwszej części, skoro mówisz o zasadzie minimum, trzeba mówić o \(\displaystyle{ n>0}\). Po prostu \(\displaystyle{ n}\) jest najmniejszą liczbą naturalną z \(\displaystyle{ H}\). W drugiej części dzielimy przez \(\displaystyle{ n}\), a więc \(\displaystyle{ 0\le r<n}\), a nie \(\displaystyle{ <q}\). Wtedy argument przechodzi. Nie trzeba sprowadzać do sprzeczności. Popatrz - powtórzę argument nieco inaczej. Niech \(\displaystyle{ m\in H}\). Wtedy, za Twoim rozumowaniem, \(\displaystyle{ m=qn+r}\), gdzie \(\displaystyle{ 0\le r<n}\) oraz \(\displaystyle{ r=m-qn\in H}\). Skoro \(\displaystyle{ r<n}\), oraz \(\displaystyle{ r\in H}\), to \(\displaystyle{ r=0}\). Otrzymujemy stąd \(\displaystyle{ m=qn\in n\ZZ}\).