Punkty krytyczne funkcji wielu zmiennych

[Palasz]

Zbadać punkty krytyczne funkcji
\(\displaystyle{ z = -(x - y + 2)^{2} -(x - 1)^{2} + 1}\)

Mógłby ktoś sprawdzić moje obliczenia, ew. zaznaczyć, co robię źle?
Czy może tę funkcję powinienem przyrównać do zera i policzyć jako uwikłaną?

\(\displaystyle{ f'(x) = -4x + 2y - 2}\)
\(\displaystyle{ f'(y) = -2x + 2y - 4}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 2 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ P _{1} (1 + \frac{1}{2} \sqrt{2} , \sqrt{2} + 3)}\)
\(\displaystyle{ P _{2} (1 - \frac{1}{2} \sqrt{2} , -\sqrt{2} + 3)}\)

\(\displaystyle{ y'' (P _{1}) = \frac{4}{ \sqrt{2} }}\) - minimum funkcji
\(\displaystyle{ y'' (P _{2}) = -\frac{4}{ \sqrt{2} }}\) - maksimum funkcji

[6weronika]

Po pierwsze masz źle pochodną \(\displaystyle{ f_y=2x-2y+4}\).

Przyrównując pochodne do 0 otrzymujesz układ 2 równań stopnia pierwszego - wychodzi jeden punkt krytyczny \(\displaystyle{ (1,3)}\). Teraz tylko liczysz drugie pochodne żeby sprawdzić czy to maksimum czy minimum.

\(\displaystyle{ f_{xx}=-4}\)
\(\displaystyle{ f_{xy}=2}\)
\(\displaystyle{ f_{yy}=-2}\)

\(\displaystyle{ \Delta = \begin{bmatrix}f_{xx}& f_{xy}\\f_{yx}& f_{yy}\end{bmatrix}}\)

Sprawdzasz czy \(\displaystyle{ \left| \Delta\right| >0}\). Jeśli tak t:
\(\displaystyle{ f_{xx}>0}\) - minimum
\(\displaystyle{ f_{xx}<0}\) - maksimum

Więc w naszym przypadku mamy maksimum w punkcie \(\displaystyle{ (1,3)}\), które przyjmuje wartość \(\displaystyle{ z=1}\)

[Palasz]

Dzięki, ale może o dziwo dalsza część zadania jest dla mnie zupełnie oczywista. Z reguły nie mam też najmniejszych problemów z liczeniem pochodnych, natomiast w tym przypadku nie widzę, na czym polega mój błąd z 'zamianą znaków'. Dlatego tak długo męczyłem się przy tak prostym zadanku.

Być może zbyt wysokie ciśnienie dziś... Wyjaśnisz mi? Zapewne zajmie to chwilkę.

[6weronika]

Nie rozumiem o co chodzi? Jaką zamianą znaków? I pokaż mi jak CI wyszły 2 punkty krytyczne?

-- 29 sie 2013, o 14:45 --

Nie możesz sobie samemu zmieniać znaku pochodnej! Przecież funkcja \(\displaystyle{ 2x}\) to zupełnie inna funkcja niż np. \(\displaystyle{ -2x}\). Pewnie chodzi Ci o rozwiązanie układu który powstaje

\(\displaystyle{ \begin{cases} f_x=-4x+2y-2=0\\ f_y=2x-2y+4=0\end{cases}}\)

Tutaj najszybciej dodać je stronami bo już mamy przeciwne współczynniki przy \(\displaystyle{ y}\). Dostajesz \(\displaystyle{ -2x+2=0}\). Wychodzi \(\displaystyle{ \begin{cases} x=1\\ y=3\end{cases}}\) Przeprasza, wcześniej się pomyliłam w znaku przy x (już poprawiłam). I to jest Twój punkt krytyczny a Tobie wyszły 2 - nie wiem jakim cudem?

[Palasz]

Źle mnie rozumiałaś. Oczywiście wszystko dobrze wychodzi, z jednym punktem stacjonarnym. Natomiast nie wiem dlaczego pochodną \(\displaystyle{ f'(y)}\) niepoprawnie liczę z odwróconymi znakami.

Pochodną \(\displaystyle{ f'(x)}\) porachowałem w ten sposób:
\(\displaystyle{ f'(x) = - 2(x - y + 2) - 2(x-1) = -2x + 2y - 4 - 2x + 2 = - 4x + 2y - 2}\)

Dlaczego licząc 'po \(\displaystyle{ y}\)', z pierwszego nawiasu powinno wyjść
\(\displaystyle{ 2x - 2y + 4}\)?

[konrad509]

Ale np. \(\displaystyle{ (x - y + 2)^{2}}\) jest funkcją złożoną. Trzeba zastosować odpowiedni wzór.

[Palasz]

I wszystko jasne. Czasem nawet najprostsze rzeczy stają się tymi najtrudniejszymi.