śr. arytm. i odch. stand. z próby

[BlueSky]

Punkty \(\displaystyle{ (x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_{10},y_{10})}\) leżą na prostej \(\displaystyle{ y=2x+7}\). Wiedząc, że średnia arytmetyczna \(\displaystyle{ \{x_1,x_2,...,x_{10}\}}\) jest równa \(\displaystyle{ 3}\), a ich odchylenie standardowe (z próby) wynosi \(\displaystyle{ 1}\), oblicz średnią arytmetyczną i odchylenie standardowe z próby liczb \(\displaystyle{ \{y_1,y_2,...,y_{10}\}}\).

[kolegasafeta]

Będę pisać wektorowo. Oznaczmy \(\displaystyle{ X=(x_1,...,x_{10}),Y=2X+7}\).
Branie średniej arytmetycznej jest operacją liniową, tzn.
\(\displaystyle{ \overline{aX+b}=a\overline{X}+b}\)

Dowód:
\(\displaystyle{ \overline{aX+b}= \frac{(ax_1+b)+(ax_2+b)+...+(ax_n+b)}{n}= \frac{a\cdot(x_1+x_2+...+x_n)+nb}{n}= a\overline{X}+b}\)

W szczególności
\(\displaystyle{ \overline{Y}=2\overline{X}+7=13}\)

-- 26 sie 2013, o 19:10 --

Co do odchylenia standardowego, to nie zmienia się ono przy przesunięciu, więc wystarczy policzyć odchylenie standardowe wektora \(\displaystyle{ 2X}\).

Pokażę krótko dlaczego tak jest:
\(\displaystyle{ sd(Y)=\sqrt{var(Y)}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{10} (y_i-\overline{Y})^2}.}\)

Jeżeli więc zwiększymy wszystkie \(\displaystyle{ y_i}\) o liczbę \(\displaystyle{ a}\), to \(\displaystyle{ \overline{Y}}\) zwiększy się o \(\displaystyle{ a\cdot n/n=a}\), więc składniki sumy się nie zmienią.

Dalej mamy
\(\displaystyle{ sd(bY)=\sqrt{\sum_{i=1}^{10} (by_i-b\overline{Y})^2}=b\cdot sd(Y)}\),

więc w naszym przypadku \(\displaystyle{ sd(Y)=2\cdot sd(X)=2.}\)

Jakieś pytania?

[BlueSky]

Nie mam żadnych, dziękuję ślicznie