Udowodnić własność.

[pchelaa]

Potrzebuję pomocy albo chociaż wskazówek i "prowadzenia za rączkę " w takim zadaniu:

\(\displaystyle{ X,Y,Z}\)- niezależne zmienne losowe, każda ma rozkład wykładniczy z parametrem 1.
Rozważmy zmienne losowe: \(\displaystyle{ S= \frac{X}{X+Y+Z}, T= \frac{Y}{X+Y+Z}}\)

Pokazać, że \(\displaystyle{ P(S+T \le t)=t^{2}}\) dla \(\displaystyle{ t \in \left[ 0,1\right]}\)

[6weronika]

\(\displaystyle{ P(S+T \le t)=F_{S+T}(t)= \int\int_{S+T \leq t}f_{(S,T)}(s,t)dsdt}\).

Może lepiej przejdź na zmienne x, y, z więc wtedy będzie \(\displaystyle{ \int\int\int_{\frac{X+Y}{X+Y+Z} \leq t} f_{(X,Y,Z)}(x,y,z)dxdydz}\). Czyli potrzebujesz gęstości łącznej - a skoro zmienne X, Y, Z są niezależne to wystarczy wymnożyć gęstości zmiennej X, Y, Z i policzyć taką całkę. Powinno pomóc.

[pchelaa]

Tak właśnie próbowałam, ale nie wyszło mi to co potrzeba. Nie wiem, czy nie mam problemu z ustaleniem granic całkowania.. Mogłabyś mi je pomóc wyznaczyć i wtedy przeliczyłabym jeszcze raz?-- 28 sie 2013, o 16:31 --Już się udało
Dziękuję za pomoc.

Mam dalsze pytanie do tego zadania. Jak udowodnić, że wektor losowy \(\displaystyle{ (S,T)}\) ma rozkład jednostajny na trójkącie o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0), (1,0), (0,1)}\)?
W tym przypadku w ogóle nie wiem jak się za to zabrać..