Powrót do głównej zmiennej

[qDanys]

Witam.
Mam takie zadanie, w którym nie czaje 2 kroków:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \int (\sin(2t)) ^{2}dt=\frac{1}{4} \int \frac{1}{2}(1-\cos(4t))dt= \frac{1}{8}t- \frac{1}{32}\sin(4t)+C= \frac{1}{8}\arcsin(x)- \frac{1}{8} x (1-2 x ^{2} ) \sqrt{1-x ^{2} }+C}\)

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć czemu tam jest \(\displaystyle{ \int \frac{1}{2}(1-\cos(4t))dt}\) ?

Wracając na zmienną x, \(\displaystyle{ x=\sin(t)}\) , wynik tej całki można zapisać w tej postaci ? :
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}\int (\sin(2t))^2 dt= \frac{1}{8}\arcsin(x)- \frac{1}{32} \sin(4 \cdot \arcsin(x)) +C}\)

[Spektralny]

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć czemu tam jest \(\displaystyle{ \int \frac{1}{2}(1-\cos(4t))dt}\) ?

Wynika to ze szkolnej tożsamości trygonometrycznej

\(\displaystyle{ \sin^2 x = {1 - \cos(2x) \over 2}.}\)

Wracając na zmienną x, \(\displaystyle{ x=\sin(t)}\) , wynik tej całki można zapisać w tej postaci ? :
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}\int (\sin(2t))^2 dt= \frac{1}{8}\arcsin(x)- \frac{1}{32} \sin(4 \cdot \arcsin(x)) +C}\)

Przyznam szczerze, że nie widzę potrzeby wprowadzania jakichkolwiek podstawień. Czym jest całka ze stałej? Czym jest całka z \(\displaystyle{ \cos(4t)}\)?

[qDanys]

To z tożsamością trygonometryczną już rozumiem, dziękuje.

Przyznam szczerze, że nie widzę potrzeby wprowadzania jakichkolwiek podstawień. Czym jest całka ze stałej? Czym jest całka z \(\displaystyle{ \cos(4t)}\)?

Całka ze stałej to nasza zmienna, tzn x/t/u zależy po czym ktoś całkuje.
Chcę obliczyć taką całkę:
\(\displaystyle{ \int x ^{2} \cdot\sqrt{1-x ^{2} }dx}\)
Dzięki metodzie przez podstawianie, przeszedłem ze zmiennej \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ t}\). W 1 poście podałem fragment tego zadania, z którym mam problem.
Teraz chcę wrócić z powrotem na \(\displaystyle{ x}\), ale nie wiem jak uzyskać tą część wyniku
\(\displaystyle{ \frac{1}{8} x (1-2 x ^{2} ) \sqrt{1-x ^{2} }}\)
i dlatego chciałem się zapytać czy tak jak zrobiłem, też jest poprawnie.
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}\int (\sin(2t))^2 dt= \frac{1}{8}\arcsin(x)- \frac{1}{32} \sin(4 \cdot \arcsin(x)) +C}\) ?

[Mariusz M]

qDanys, a musi być podstawienie ?
Przez części dobrze się ją liczy

\(\displaystyle{ \int x ^{2} \cdot\sqrt{1-x ^{2} }dx=\frac{x^3}{3} \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{3}\int{\frac{\left( -x^4\right) }{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x } \\
\int x ^{2} \cdot\sqrt{1-x ^{2} }dx=\frac{x^3}{3} \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{3}\left( \int{ \frac{x^2-x^4}{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }-\int{\frac{x^2}{ \sqrt{1-x^2} }}\right) \\
\frac{4}{3}\int x ^{2} \cdot\sqrt{1-x ^{2} }dx=\frac{x^3}{3} \sqrt{1-x^2}+ \frac{1}{3}\int{ \frac{x^2}{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }\\
\int{\frac{x^2}{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }=-x \sqrt{1-x^2}+\int{ \sqrt{1-x^2} \mbox{d}x }\\
\int{\frac{x^2}{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }=-x \sqrt{1-x^2}+\int{\frac{1-x^2}{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }\\
2\int{\frac{x^2}{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }=-x \sqrt{1-x^2}+\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{1-x^2} } }\\
\int{\frac{x^2}{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }= \frac{1}{2}\left(-x \sqrt{1-x^2}+\arcsin{x} \right)+C \\
\frac{4}{3}\int x ^{2} \cdot\sqrt{1-x ^{2} }dx=\frac{x^3}{3} \sqrt{1-x^2}+ \frac{1}{6}\left(-x \sqrt{1-x^2}+\arcsin{x} \right)+C\\
\int x ^{2} \cdot\sqrt{1-x ^{2} }dx=\frac{x^3}{4} \sqrt{1-x^2}+ \frac{1}{8}\left(-x \sqrt{1-x^2}+\arcsin{x} \right)+C\\
\int x ^{2} \cdot\sqrt{1-x ^{2} }dx= \frac{1}{8}\left( \left( 2x^3-x\right) \sqrt{1-x^2}+\arcsin{x} \right)+C}\)

\(\displaystyle{ \int x ^{2} \cdot\sqrt{1-x ^{2} }dx\\
x=\sin{t}\\
\mbox{d}x =\cos{t} \mbox{d}t\\
\int{\sin^{2}{t}\cos^{2}{t} \mbox{d}t}= \frac{1}{4}\int{\sin^{2}{2t} \mbox{d}t}\\
= \frac{1}{8} \int{\left( 1-\cos{4t}\right) \mbox{d}t}\\
= \frac{1}{8} \left(t-\frac{1}{4}\sin{4t} \right) +C\\
=\frac{1}{8}\left( t- \frac{1}{4} \cdot 2\sin{2t}\cos{2t} \right)+C\\
=\frac{1}{8}\left( t- \frac{1}{2} \left( 2\sin{t}\cos{t}\right) \left( \cos^{2}{t}-\sin^{2}{t}\right) \right)+C\\
=\frac{1}{8}\left( t- \sin{t}\cos{t}\left( 1-2\sin^{2}{t}\right) \right)\\
=\frac{1}{8}\left( \left( 2\sin^{3}{t}-\sin{t}\right)\cos{t}+t \right)+C}\)

[qDanys]

\(\displaystyle{ \frac{1}{8} \int{\left( 1-\cos{4t}\right) \mbox{d}t}\\ = \frac{1}{8} \left(t-\frac{1}{4}\sin{4t} \right) +C\\}\)
A do tego doszedłeś dzięki wzorom na \(\displaystyle{ \cos(2x)/\sin(2x)}\)? ponieważ mi coś nie wychodzi ;/
Dziękuje mariuszm, to przez części też dobrze wygląda, ale chce skończyć ten przykład przez podstawienie tak jak zacząłem i dalej nikt mi nie odpowiedział:

Wracając na zmienną x, \(\displaystyle{ x=\sin(t)}\) , wynik tej całki można zapisać w tej postaci ? :
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}\int (\sin(2t))^2 dt= \frac{1}{8}\arcsin(x)- \frac{1}{32} \sin(4 \cdot \arcsin(x)) +C}\)