Zbiory i podzbiory

[kaseak]

Witam, mam prośbę o sprawdzenie moich zadań z teorii mnogości. Proszę też o poprawne odpowiedzi tam, gdzie były błędy.

UWAGA!
W zadaniach 2, 4, 8, 14, 15 poprawnych odpowiedzi może być więcej niż jedna.

1. Ile elementów ma zbiór \(\displaystyle{ A=\{a, \{a\}, b, \{a, b\}\}}\) ?
\(\displaystyle{ 0 - 6}\)
Moja odpowiedź : 4
2. Częścią wspólną zbioru czerwonych skarpetek i zbioru czerwonych szalików jest:
a) kolor czerwony
b) dowolna czerwona część ubrania
c) zbiór pusty
Moja odpowiedź : A,C
3. Dane są dwa zbiory \(\displaystyle{ A, B}\) takie, że \(\displaystyle{ A \subset B}\) i \(\displaystyle{ B \subset A}\). Wówczas:
a) oba zbiory są zbiorami pustymi
b) takie zbiory nie istnieją
c) \(\displaystyle{ A=B}\)
Moja odpowiedź : A
4. Dane są zbiory \(\displaystyle{ A_{i}}\), gdzie indeks oznacza ilość nawiasów w oznaczeniu takiej postaci: \(\displaystyle{ A_{1} =\{a\}, A_{2} =\{\{a\}\}, A_{3} =\{\{\{a\}\}\}, ..., A_{n} =\{...\{\{a\}\}...\}}\). Wobec tego:
a) \(\displaystyle{ A_{1}=A_{2}=...=A_{n}}\)
b) moc zbioru \(\displaystyle{ A_{k}}\) jest równa \(\displaystyle{ k}\)
c) każdy ze zbiorów \(\displaystyle{ A_{1},A_{2}, ...,A_{n}}\) jest jednoelementowy
Moja odpowiedź : A,C
5. Dane są zbiory:
\(\displaystyle{ A= \left[ \left( -\infty, -3 \right) \cup \left( 3, \infty\right) \right] '\\
B= \left( -3, 3 \right) \\
C=\left\langle -3, 3 \right\rangle\\
D= \emptyset}\)
Zaznacz zbiory, które są sobie równe lub pozostaw pola puste, jeśli wszystkie zbiory są różne.
a) \(\displaystyle{ C}\)
b) \(\displaystyle{ A}\)
c) \(\displaystyle{ D}\)
d) \(\displaystyle{ B}\)
Moja odpowiedź : tu pozostawiłem puste pola
6. Dane są zbiory
\(\displaystyle{ A=\left\langle 4, 8 \right\rangle\\
B=(4, 8)\\
C=(- \infty , 10) \cup \langle 10, \infty )\\
D=\langle 4, 6) \cup (5,10\rangle}\)
Uszereguj je tak, aby każdy ze zbiorów (poza ostatnim) zawierał się w zbiorze następnym.
Moja odpowiedź : \(\displaystyle{ B,A,D,C}\)
7. Na wyspę przybywają duchy o bardzo różnym charakterze. Część jest wesoła, część roztargniona, część złośliwa (jak to duchy). Niektórzy z duchów powyfruwali nawiedzać inne wyspy i we wszystkich miastach mieszka ich w tej chwili trzydzieści dwoje.
Wesołych i złośliwych jest \(\displaystyle{ 4}\), niezłośliwych ale roztargnionych jest \(\displaystyle{ 6}\), wesołych i równocześnie roztargnionych jest też \(\displaystyle{ 6}\). Są też duchy złośliwe i roztargnione - tych jest \(\displaystyle{ 8}\). Ponadto każdy duch wesoły i złośliwy jest jednocześnie roztargniony. Wiadomo także, że łączna liczba duchów złośliwych wynosi \(\displaystyle{ 14}\).
Czy można określić ile jest wesołych duchów w naszej grupie? Jeśli tak, to wybierz prawidłową liczbę. Jeśli jest za mało danych, wybierz \(\displaystyle{ 0}\).
\(\displaystyle{ 0 - 32}\)
Moja odpowiedź : \(\displaystyle{ 0}\)
8. Zbiór liczbowy \(\displaystyle{ P=\left\{n \in N: n=3k, k \in N\right\}}\) jest równoliczny ze zbiorem:
a) liczb naturalnych
b) liczb rzeczywistych
c) liczb naturalnych podzielnych przez \(\displaystyle{ 6}\)
d) liczb rzeczywistych z przedziału \(\displaystyle{ (0, 3)}\)
Moja odpowiedź : C
9. Zbiór potęgowy danego zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest to:
a) zbiór wszystkich dwuelementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ A}\)
b) zbiór wszystkich niepustych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ A}\)
c) zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ A}\)
Moja odpowiedź : C
10. Liczba wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego wynosi:
a) \(\displaystyle{ n+2}\)
b) \(\displaystyle{ 2^{n}}\)
c) \(\displaystyle{ 2n}\)
d) \(\displaystyle{ n^{2}}\)
Moja odpowiedź : B
11. Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie pewnym zbiorem, \(\displaystyle{ B}\) zbiorem potęgowym wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ A}\), natomiast \(\displaystyle{ C}\) zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ B}\).
Moc zbioru \(\displaystyle{ A \cup B \cup C}\) jest równa \(\displaystyle{ 267}\). Wobec tego zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma:
a) \(\displaystyle{ 6}\) elementów
b) \(\displaystyle{ 8}\) elementów
c) \(\displaystyle{ 3}\) elementy
d) \(\displaystyle{ 512}\) elementów
e) \(\displaystyle{ 4}\) elementy
Moja odpowiedź : B
12. Ile niepustych podzbiorów liczby zbiór \(\displaystyle{ Z=\left\{x \in R: 2 \le \left|x-1\right| \le 4 \wedge x^{4}-7x^{2}-6x=0\right\}}\)
\(\displaystyle{ 0 - 10}\)
Moja odpowiedź : \(\displaystyle{ 3}\)
13. Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie różnicą symetryczną zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Wówczas:
a) \(\displaystyle{ R=\left(A \cap B\right)'-\left(A \cup B\right)'}\)
b) \(\displaystyle{ R=\left(A \cup B\right)'-\left(A \cap B\right)'}\)
c) \(\displaystyle{ R=\left(A \cap B\right)'}\)
Moja odpowiedź : B
14. Weźmy pod uwagę zdanie \(\displaystyle{ p}\) o treści: Tylko niektóre duchy matematyków są złośliwe.
Niech \(\displaystyle{ Z}\) oznacza zbiór wszystkich istot złośliwych, a \(\displaystyle{ D}\) - zbiór wszystkich duchów matematyków (nie wiemy przy tym, który zbiór jest liczniejszy, a obydwa są skończone).
Który z poniższych zapisów może odpowiadać treści zdania \(\displaystyle{ p}\)?
a) \(\displaystyle{ Z \cap D=D}\)
b) \(\displaystyle{ Z \cap D\neq\emptyset}\)
c) \(\displaystyle{ Z \cup D\neq\emptyset}\)
d) \(\displaystyle{ Z \subset D}\)
Moja odpowiedź : B,C,D
15. Zaznacz prawa rachunku zbiorów (czyli zdania prawdziwe dla wszelkich zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)).
a) \(\displaystyle{ \left(A \cup B\right)'=A' \cap B'}\)
b) \(\displaystyle{ A \cap \left(B \cup C\right)=\left(A \cap B\right) \cup \left(A \cap C\right)}\)
c) \(\displaystyle{ \left(A \cup B\right)-B=A}\)
d) \(\displaystyle{ \left(A \cup B\right)-\left(A \cap B\right)=A}\)
Moja odpowiedź : A,B

Dziękuje i pozdrawiam.

[sigmaIpi]

W zadaniu 2 nie mogą być dwie wykluczające się odpowiedzi
W zadaniu 3 jest błąd- spróbuj to narysować
Zadanie 5 -źle
Zadanie 7 - można wywnioskować liczbę duchów z diagramu Viena
Zadanie 8 -źle : dla \(\displaystyle{ k\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}}\) mamy :
\(\displaystyle{ P=\left\{ 3,6,9,12,15,18\right\}}\) i nie wszystkie liczby będą podzielne przez 6.
Zadanie 11- źle. Zwróć uwagę, że \(\displaystyle{ n}\) musi być liczbą nieparzystą.
Zadanie 12- źle. Liczba elementów zbioru wynosi 3 ale nie liczba jego podzbiorów.
13-żle- znów kłania się diagram Viena.
zadanie 14 źle- rozpatrz zbiory rozłączne- taka sytuacja nie odpowiada treści zdania p.
15 źle - tylko jedno z tych równań jest poprawne

[kaseak]

Czyli reszta zadań jest poprawna ?
Co do tych co źle zrobiłem spróbuje odpowiedzieć jeszcze raz.
2. A, B
3. C
5. A, D innej możliwości nie widzę
7. nie potrafię wykorzystać tego diagramu w tym zadaniu
8. A
11. według mnie na 100% będzie B (liczba nieparzysta byłaby dla zbioru A)
12. tutaj nie wiem jak to zrobić
13. A
14. B
15. według tej strony są dwie poprawne odpowiedzi :
[ciach]

[sigmaIpi]

2- zbiór pusty. nie można znaleźć elementu który będzie jednocześnie czerwoną skarpetką i czerwonym szalikiem
3 -tak
5- jeśli chodzi o to że zbiory A i D są równe, to tak
8 - tak, ale może skonsultuj to z kimś jeszcze, bo nie jestem pewna na 100%
11- trzeba rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ n+2^n+2^{2^n}=267}\)
13- tak
14 -b,d - sytuacja, że wszystkie złośliwe są matematykami może zajść, jeśli tylko dusze matematyków bywają złośliwe
15 -masz rację-mea maxima culpa

Co do reszty - wg mnie jest poprawnie.

Zadanie z diagramem: przyjmijmy taki diagram jak tutaj:
przy czym zbiór górny lewy (1,2,5,4) to duchy wesołe, górny prawy (2,3,5,6) to roztargnione, a dolny (4,5,6,7) to złośliwe.

Musimy rozpatrzyć następujące zdania:
a)- Wesołych i złośliwych jest 4,
b)-niezłośliwych ale roztargnionych jest 6,
c) wesołych i równocześnie roztargnionych jest też 6
d) Są też duchy złośliwe i roztargnione - tych jest 8.
e) Ponadto każdy duch wesoły i złośliwy jest jednocześnie roztargniony.
f) Wiadomo także, że łączna liczba duchów złośliwych wynosi 14.

z a) i e) wynika, że środkowa część diagramu liczy 4 a czwarta część 0
z tego i z c) wynika, że druga część diagramu wynosi 2
następnie z b) wynika, że 3 część diagramu wynosi 4
i dalej z d) 6 część wynosi 4
jak dodasz wszystko do siebie to okaże się, że rozmieściliśmy już 14 duchów.
Wesołych jest 6 duchów.


W zadaniu 12 najpierw ustal jakie elementy należą do zbioru Z. Powinieneś otrzymać trzy elementy. A teraz przeczytaj pytanie z tego zadania i pytanie z punktu dziesiątego- tam udzieliłeś poprawnej odpowiedzi.

[Jan Kraszewski]

8 - tak, ale może skonsultuj to z kimś jeszcze, bo nie jestem pewna na 100%

Poprawne są odpowiedzi a) i c).

JK

[Mad_Man]

4. Dane są zbiory \(\displaystyle{ A_{i}}\), gdzie indeks oznacza ilość nawiasów w oznaczeniu takiej postaci: \(\displaystyle{ A_{1} =\{a\}, A_{2} =\{\{a\}\}, A_{3} =\{\{\{a\}\}\}, ..., A_{n} =\{...\{\{a\}\}...\}}\). Wobec tego:
a) \(\displaystyle{ A_{1}=A_{2}=...=A_{n}}\)
b) moc zbioru \(\displaystyle{ A_{k}}\) jest równa \(\displaystyle{ k}\)
c) każdy ze zbiorów \(\displaystyle{ A_{1},A_{2}, ...,A_{n}}\) jest jednoelementowy
Moja odpowiedź : A,C

A ja mam pytanie, dlaczego odpowiedź a) jest prawidłowa?

Z tego wynika, że \(\displaystyle{ \left\{ a\right\} = \left\{ \left\{ a\right\} \right\}}\). Nie jest tak, że pierwszy zbiór zawiera element 'a', a drugi zbiór zawiera zbiór, w którym jest element 'a'?

[Jan Kraszewski]

A ja mam pytanie, dlaczego odpowiedź a) jest prawidłowa?

A kto powiedział, że jest? To była tylko propozycja autora tematu, do której nikt się nie odniósł.

Poprawna jest tylko odpowiedź c).

JK

[Mad_Man]

To jeszcze tutaj:

5. Dane są zbiory:
\(\displaystyle{ A= \left[ \left( -\infty, -3 \right) \cup \left( 3, \infty\right) \right] '\\
B= \left( -3, 3 \right) \\
C=\left\langle -3, 3 \right\rangle\\
D= \emptyset}\)
Zaznacz zbiory, które są sobie równe lub pozostaw pola puste, jeśli wszystkie zbiory są różne.
a) \(\displaystyle{ C}\)
b) \(\displaystyle{ A}\)
c) \(\displaystyle{ D}\)
d) \(\displaystyle{ B}\)
Moja odpowiedź : tu pozostawiłem puste pola

Ktoś wyżej napisał, że zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ D}\) są równe.. jakim sposobem?
Jeżeli dobrze widzę znak dopełnienia przy zbiorze \(\displaystyle{ A}\), to wg mnie równe są \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\)

[Jan Kraszewski]

Jeżeli dobrze widzę znak dopełnienia przy zbiorze \(\displaystyle{ A}\), to wg mnie równe są \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\)

Masz rację.

JK