Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ n \in N \ i \ n}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), to \(\displaystyle{ n^{2}+2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\)
Wiem , że największą resztą jaka może wystąpić po podzieleniu przez 3 wynosi 2, ale nie wiem jak to wykażać
Podzielność przez 3
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Podzielność przez 3
Z tego że \(\displaystyle{ n}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) wynika że liczba \(\displaystyle{ n}\) przy dzieleniu przez trzy daje resztę jeden - czyli jest postaci \(\displaystyle{ 3k+1}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego; bądź daje resztę dwa - czyli \(\displaystyle{ 3k+2}\).
Zadanie sprowadza się do wykazania, że liczby \(\displaystyle{ (3k+1)^2+2}\) oraz \(\displaystyle{ (3k+2)^2+2}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) a to chyba nie jest trudne.
Zadanie sprowadza się do wykazania, że liczby \(\displaystyle{ (3k+1)^2+2}\) oraz \(\displaystyle{ (3k+2)^2+2}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) a to chyba nie jest trudne.
-
- Użytkownik
- Posty: 1596
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 247 razy
Podzielność przez 3
jeżeli \(\displaystyle{ n}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) to
\(\displaystyle{ n = 3k+1 \vee n = 3k+2, k\in \mathbb{N}\\
\\
\left(3k+1\right)^2 + 2 = 9k^2 + 6k + 3 = 3\left(3k^2 + 2k + 1\right)\\
\\
\left(3k+2\right)^2 + 2 = 9k^2 + 12k + 6 = 3\left(3k^2 + 4k + 2\right)}\)
\(\displaystyle{ n = 3k+1 \vee n = 3k+2, k\in \mathbb{N}\\
\\
\left(3k+1\right)^2 + 2 = 9k^2 + 6k + 3 = 3\left(3k^2 + 2k + 1\right)\\
\\
\left(3k+2\right)^2 + 2 = 9k^2 + 12k + 6 = 3\left(3k^2 + 4k + 2\right)}\)