tw. de Moivre'a-Laplace'a oraz tw. Poissona

[Joisana]

Mam problem ze zrozumieniem i zastosowaniem w zadaniach powyższych twierdzeń. Najchętniej zobaczyłabym, jak działają w praktyce na poniższych zadankach. Będę wdzięczna za pomoc

1. (typowe zadanie o konkurencji na tw. de Moivre'a) Egzamin z rachunku prawdopodobieństwa, do którego przystępuje 100 studentów, odbywa się w dwóch salach. Jedna z nich mieści 60 osób, druga 55. Każdy student, niezależnie od pozostałych, dokonuje losowego wyboru sali (każdą wybiera z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Podać przybliżone prawdopodobieństwo, że wszyscy studenci znajdą miejsce w wybranej przez siebie sali. Wynik wyrazić przy pomocy dystrybuanty rozkładu normalnego.

2. (na tw. Poissona) Na Ursynowie ginie średnio 7 samochodów tygodniowo. Jaka jest szansa, że jutro będzie dzień bez kradzieży przy założeniu stałej aktywności złodziei?

[robertm19]

Zad2.
Nie wiemy ile samochodów jest narażonych na kradzież. Jest to duża liczba \(\displaystyle{ n}\). Prawd. że \(\displaystyle{ k}\) samochodów będzie skradzionych ma rozkład Bernoulliego \(\displaystyle{ B(n,p)}\). \(\displaystyle{ p}\) też nie znamy ale wiemy że średnia tygodniowa jest równa \(\displaystyle{ 7}\). Co oznacza że średnio jeden samochód dziennie jest skradziony. Dla rozkład Beronoulliego średnia to \(\displaystyle{ EX=np=1=\lambda}\).
I teraz z tw Poissona \(\displaystyle{ {n \choose 0} p^0(1-p)^{n} \approx \frac{\lambda^0}{0!}e^{-\lambda}=e^{-1}}\).

Z tw tego korzystamy gdy w rozkładzie dwumianowym mamy duże \(\displaystyle{ n}\) przez które obliczenia będą trudne. Łatwiej będzie policzyć coś takiego \(\displaystyle{ \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}}\) niż \(\displaystyle{ {n \choose k}}\), gdy \(\displaystyle{ n=10000000}\).
Pierwsze napisze jak wyrazisz dalsze zainteresowanie.

[Joisana]

Dziękuję ślicznie! Tak ładnie to rozpisałeś, że aż nie mam żadnych pytań

-- 21 sie 2013, o 19:14 --

Ok, spróbowałam rozwiązać tamto pierwsze zadanie i proszę o sprawdzenie, czy dobrze.

Rozkład Bernoulliego wygląda tak:

\(\displaystyle{ {n \choose k} \cdot p^k \cdot \(1-p)^{n-k}}\)

Przy czym u nas:
n=100 (liczba studentów, czyli liczba prób Bernoulliego)
p = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) (p-stwo wybrania sali z 55 miejscami)
k = ? (l-ba osób, które wybiorą tę salę; żeby się zmieścili wszyscy w obu musi być \(\displaystyle{ 40 \le k \le 55}\))

Rozkład Bernoulliego przybliżam z tw. de Moivre'a-Laplace'a rozkładem normalnym \(\displaystyle{ N(EX, \sigma)=(np, \sqrt {np (1-p)})}\), czyli po podstawieniu naszych danych \(\displaystyle{ N(50,5)}\). Czyli odpowiedzią będzie \(\displaystyle{ G(50)-G(5)}\), gdzie G to dystrybuanta rozkładu normalnego \(\displaystyle{ N(50,5)}\)?

Mogę to też ustandaryzować w ten sposób:
\(\displaystyle{ P(40 \le X \le 55) = P(-10 \le X-50 \le 5) = P(-\frac{1}{5} \le \frac{X-50}{5} \le 1) = F(1)-F(-\frac{1}{5})}\)

Ale czy wtedy na pewno \(\displaystyle{ Y= \frac{X-50}{5}}\) ma też rozkład normalny?

-- 25 sie 2013, o 00:22 --

* tam nie \(\displaystyle{ -\frac{1}{5}}\), tylko \(\displaystyle{ -2}\) powinno być Już wiem, że Y ma rozkł. normalny.