Całka niewłaściwa, logarytm

[Browning0]

Witajcie! Czy mogę prosić o wskazanie mi błędu w moim rozumowaniu?

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \frac {x}{1+x^2}dx = \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} \frac {x}{1+x^2}dx \\ \\ \\ \int \frac{x}{1+x^2} dx = \ln{\sqrt{1+x^2}} + C \\ \\ \\ \int_{-R}^{R} \frac{x}{1+x^2} dx = \ln{\sqrt{1+R^2}} + C - \left( \ln{\sqrt{1+R^2}} + C\right) = 0 \\ \\ \\ \int_{-\infty}^{\infty} \frac {x}{1+x^2}dx = 0}\)

Tymczasem, wedle odpowiedzi i Wolframa, całka ta jest rozbieżna.

Pozdrawiam!

[Spektralny]

Proszę: 338253.htm

[yorgin]

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{1+x^2} dx = \ln{\sqrt{1+x^2}} + C}\)

Przy okazji tutaj jest niepoprawne całkowanie.

[Browning0]

Już zrozumiałem, błąd zrobiłem tutaj:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \frac {x}{1+x^2}dx = \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} \frac {x}{1+x^2}dx}\)

Powinno być:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \frac {x}{1+x^2}dx = \lim_{R \to \infty, P \to -\infty} \int_{P}^{R} \frac {x}{1+x^2}dx}\)
Co zmienia postać rzeczy

@yorgin
Hmm, czy chodzi Ci o to że stała całkowania powinna być podzielona przez dwa? Jeżeli nie to nie mam pojęcia jaki błąd popełniłem ;/

[yorgin]

Zaraz zaraz... Wszystko jednak jest ok. To ja zrobiłem gafę przy stałej przed logarytmem. Twoje rachunki są ok.