równanie różniczkowe zupełne

[hannah000]

Dobry wieczór,
Mam takie równanie różniczkowe:

\(\displaystyle{ \ x - y + (2y - x) \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = 0}\)

więc:
\(\displaystyle{ \ P(x,y) = x - y}\)
\(\displaystyle{ \ Q(x,y) = 2y - x}\)

Spełniona jest równość:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial P}{ \partial y} = \frac{ \partial Q}{ \partial x}}\)

i następnie:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial x} = x - y}\)
\(\displaystyle{ \ F(x,y) = \int (x-y) \mbox{d}x = \frac{1}{2} x^{2} - yx + C(y)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial y} = -x + C'(y) = 2y - x}\)

\(\displaystyle{ \ C'(y) = 2y}\)

Całkując po y:

\(\displaystyle{ \ C(y) = 2 \frac{1}{2} y^{2}}\)

i ostatecznie wyszło mi:

\(\displaystyle{ \ F(x,y) = \frac{1}{2} x^{2} - yx + y^{2}}\)

Natomiast w odpowiedziach książki jest:

\(\displaystyle{ \ x^{2} - 2yx + y^{2} = 0}\)

Czy robię gdzieś błąd?

[yorgin]

W obliczeniach błędu nie robisz. Faktycznie poprawnie wyznaczasz \(\displaystyle{ F}\).

Ale rozwiązaniem równania zupełnego nie jest \(\displaystyle{ F(x,y)}\), lecz \(\displaystyle{ F(x,y)=C}\).

P.S. Zawsze rozwiązanie można zróżniczkować i sprawdzić, czy dostaje się równanie różniczkowe, od którego się wystartowało...

[hannah000]

To w takim razie jak doprowadzić do wyniku z odpowiedzi?

[yorgin]

Czytamy ze zrozumieniem. Co ja napisałem o Twoich obliczeniach?

[hannah000]

Więc jak można doprowadzić do \(\displaystyle{ \ F(x,y)=C}\)?

[Mariusz M]

Ja też nie widzę błędu
Po swoich obliczeniach zapisz to co napisał yorgin
Możesz też sprawdzić co dostaniesz rozwiązując jako jednorodne