Znajdź rozwiązanie ogólne poniższego równania:
\(\displaystyle{ f''+ \left( \frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}} \right) f'+\frac{2}{x^2+1} f =0}\)
Zna ktoś jakąś metodę na rozwiązanie tego równania?
"trudne" równanie?
-
rodzyn7773
- Użytkownik
- Posty: 1659
- Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 278 razy
"trudne" równanie?
Ostatnio zmieniony 15 sie 2013, o 21:36 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.
Powód: Skalowanie nawiasów.
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12680
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
"trudne" równanie?
Nie znam dobrej metody, ale mogę zasugerować podstawienie, które wymyśliłem tylko dzięki znajomości rozwiązania powyższego równania (program rozwiązał jako pierwszy).
Podstawienie to \(\displaystyle{ x=\sinh t}\).
Bardzo uważne rachunki powinny Cię sprowadzić do równania
\(\displaystyle{ f''-3f'+f=0}\)
przy czym \(\displaystyle{ f=f(t)}\).
Podstawienie to \(\displaystyle{ x=\sinh t}\).
Bardzo uważne rachunki powinny Cię sprowadzić do równania
\(\displaystyle{ f''-3f'+f=0}\)
przy czym \(\displaystyle{ f=f(t)}\).
-
ares41
- Użytkownik
- Posty: 6491
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
"trudne" równanie?
Wydaje mi się, że metoda Frobeniusa powinna tu zadziałać, chyba że mi umknęło jakieś założenie. Nie obiecuję jednak, że rachunki będą szybkie i przyjemne.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
"trudne" równanie?
Można sprowadzić równanie do Riccatiego podstawieniem zaproponowanym przez użytkownika Koryfeusz
w równaniu 235510.htm
W otrzymanym równaniu Riccatiego trochę łatwiej przewidzieć całkę szczególną i rozwiązać jak
Bernoullego czy liniowe pierwszego rzędu
Sprowadźmy to równanie do Riccatiego
\(\displaystyle{ f''+ \left( \frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}} \right) f'+\frac{2}{x^2+1} f =0\\
f\left( x\right) =e^{\int{u\left( x\right) \mbox{d}x }}\\
f^{\prime}\left( x\right)=u\left( x\right)e^{\int{u\left( x\right) \mbox{d}x }}\\
f^{\prime\prime}\left( x\right)=u^{\prime}\left( x\right)e^{\int{u\left( x\right) \mbox{d}x }}+u^{2}\left( x\right)e^{\int{u\left( x\right) \mbox{d}x }} \\
u^{\prime}\left( x\right)e^{\int{u\left( x\right) \mbox{d}x }}+u^{2}\left( x\right)e^{\int{u\left( x\right) \mbox{d}x }}+\left( \frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}} \right)u\left( x\right)e^{\int{u\left( x\right) \mbox{d}x }}+ \frac{2}{x^2+1}e^{\int{u\left( x\right) \mbox{d}x }}=0\\}\)
Równanie Riccatiego wygląda tak
\(\displaystyle{ u^{\prime}\left( x\right) +u^{2}\left( x\right)+\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}} \right)u\left( x\right)+ \frac{2}{x^2+1}=0}\)
Gdyby nam się udało znaleźć całkę szczególną to łatwo by było rozwiązać to równanie
Jeden ze współczynników zawiera pierwiastek z trójmianu spróbujmy więc poszukać
całki szczególnej wśród jednej z takich funkcji
\(\displaystyle{ u_{1}= \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} }\\
-\frac{1}{2} \left( x^2+1\right)^{ -\frac{3}{2} } \cdot 2x+ \frac{1}{x^2+1}+\left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{3}{ \sqrt{x^2+1} } \right) \cdot \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} }+ \frac{2}{x^2+1}=0\\
- \frac{x}{\left( x^2+1\right) \sqrt{x^2+1} } + \frac{1}{x^2+1}+\frac{x}{\left( x^2+1\right) \sqrt{x^2+1} }- \frac{3}{x^2+1}+ \frac{2}{x^2+1}=0\\
0=0\\
u^{\prime}\left( x\right) =-u^{2}\left( x\right)-\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}} \right)u\left( x\right)- \frac{2}{x^2+1}\\
u\left( x\right)= \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } + \frac{1}{w\left( x\right) }\\
-\frac{x}{\left( x^2+1\right) \sqrt{x^2+1} }- \frac{w^{\prime}}{w^2}=-\left( \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} }+ \frac{1}{w} \right)^2-\left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{3}{ \sqrt{x^2+1} } \right)\left( \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} }+ \frac{1}{w} \right) - \frac{2}{x^2+1}\\}\)
\(\displaystyle{ -\frac{x}{\left(x^2+1\right) \sqrt{x^2+1} }-\frac{w^{\prime}}{w^2}=-\frac{1}{x^2+1}-\frac{2}{\sqrt{x^2+1}}\cdot\frac{1}{w}-\frac{1}{w^2}-\frac{x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}-\frac{x}{x^2+1} \cdot \frac{1}{w}+ \frac{3}{x^2+1}+ \frac{3}{ \sqrt{x^2+1} } \cdot \frac{1}{w}- \frac{2}{x^2+1}\\
-\frac{w^{\prime}}{w^2}=-\left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } \right) \cdot \frac{1}{w}-\frac{1}{w^2}\\
w^{\prime}= \left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } \right)w+1\\
w^{\prime}-\left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } \right)w=1\\}\)
\(\displaystyle{ w^{\prime}-\left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } \right)w=0\\
w^{\prime}=\left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } \right)w\\
\frac{ \mbox{d}w}{w}= \left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } \right) \mbox{d}x \\}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{x}{x^2+1} \mbox{d}x }\\
x^2+1=s\\
2x \mbox{d}x = \mbox{d}s\\
x \mbox{d}x= \frac{1}{2} \mbox{d}s\\
\frac{1}{2} \int{\frac{ \mbox{d}s}{s}}=\frac{1}{2}\ln{\left|s\right|}\\
\int{\frac{x}{x^2+1} \mbox{d}x }=\frac{1}{2}\ln{\left| x^2+1\right| }+C}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{x^2+1} }}\\
\sqrt{x^2+1}=t-x\\
x^2+1=t^2-2tx+x^2\\
1=t^2-2tx\\
t^2-1=2tx\\
x=\frac{t^2-1}{2t}\\
t-x=\frac{2t^2-t^2+1}{2t}=\frac{t^2+1}{2t}\\
\mbox{d}x = \frac{2t \cdot 2t-2\left( t^2-1\right) }{4t^2} \mbox{d}t\\
\mbox{d}x=\frac{t^2+1}{2t^2} \mbox{d}t\\
\int{\frac{2t}{t^2+1} \cdot \frac{t^2+1}{2t^2} \mbox{d}t}\\
\int{\frac{ \mbox{d}t}{t}}=\ln{\left| t\right| }+C\\
\int{\frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{x^2+1} }}=\ln{\left| x+ \sqrt{x^2+1} \right| }+C}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}w}{w}= \left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } \right) \mbox{d}x \\
\ln{\left| w\right| }= \frac{1}{2}\ln{\left| x^2+1\right| }-\ln{\left| x+\sqrt{x^2+1}\right| }+C\\
w=C \cdot \frac{ \sqrt{x^2+1} }{x+ \sqrt{x^2+1} } \\
w=C \cdot \sqrt{x^2+1}\left( x- \sqrt{x^2+1} \right) \\
w=C \cdot \left( x \sqrt{x^2+1}-\left( x^2+1\right) \right) \\
w\left( x\right)=C\left( x\right)\left(x \sqrt{x^2+1}-\left( x^2+1\right) \right)\\}\)
\(\displaystyle{ C^{\prime}\left( x\right)\left( x \sqrt{x^2+1}-\left( x^2+1\right) \right)+C\left( x\right)\left( \sqrt{x^2+1}+ \frac{x^2}{ \sqrt{x^2+1} } -2x \right)\\-C\left( x\right)\left( x \sqrt{x^2+1}-\left( x^2+1\right) \right)\left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } \right)=1\\
C^{\prime}\left(x \right)\left( x \sqrt{x^2+1}-\left( x^2+1\right) \right)=1\\
C^{\prime}\left( x\right)= \frac{1}{x \sqrt{x^2+1}-\left( x^2+1\right) } \\}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{ \mbox{d}x }{x \sqrt{x^2+1}-\left( x^2+1\right) }}\\
\sqrt{x^2+1}=t-x\\
x^2+1=t^2-2tx+x^2\\
1=t^2-2tx\\
2tx=t^2-1\\
x=\frac{t^2-1}{2t}\\
t-x= \frac{2t^2-t^2+1}{2t}=\frac{t^2+1}{2t}\\
\mbox{d}x =\frac{2t \cdot 2t-2\left( t^2-1\right) }{4t^2} \mbox{d}t\\
\mbox{d}x =\frac{t^2+1}{2t^2} \mbox{d}t\\
\int{\frac{1}{ \frac{t^2-1}{2t} \cdot \frac{t^2+1}{2t}- \frac{t^4+2t^2+1}{4t^2} } \cdot \frac{t^2+1}{2t^2} \mbox{d}t }\\
-\int{\frac{2t^2}{t^2+1} \cdot \frac{t^2+1}{2t^2} \mbox{d}t }\\
-\int{ \mbox{d}t}=-t+C\\
\int{\frac{ \mbox{d}x }{x \sqrt{x^2+1}-\left( x^2+1\right) }}=-x- \sqrt{x^2+1}+C\\
C\left( x\right)=-x- \sqrt{x^2+1}+C\\
w=\left(-x- \sqrt{x^2+1}+C \right)\left( x \sqrt{x^2+1}-\left( x^2+1\right) \right)\\
w=\left(Cx+1 \right) \sqrt{x^2+1}-C\left( x^2+1\right)\\
u\left( x\right)= \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} }+\frac{1}{\left(Cx+1 \right) \sqrt{x^2+1}-C\left( x^2+1\right)}\\}\)
Do scałkowania funkcji \(\displaystyle{ u\left( x\right)}\) proponuję pierwsze podstawienie Eulera
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+1}=t-x}\)
w równaniu 235510.htm
W otrzymanym równaniu Riccatiego trochę łatwiej przewidzieć całkę szczególną i rozwiązać jak
Bernoullego czy liniowe pierwszego rzędu
Sprowadźmy to równanie do Riccatiego
\(\displaystyle{ f''+ \left( \frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}} \right) f'+\frac{2}{x^2+1} f =0\\
f\left( x\right) =e^{\int{u\left( x\right) \mbox{d}x }}\\
f^{\prime}\left( x\right)=u\left( x\right)e^{\int{u\left( x\right) \mbox{d}x }}\\
f^{\prime\prime}\left( x\right)=u^{\prime}\left( x\right)e^{\int{u\left( x\right) \mbox{d}x }}+u^{2}\left( x\right)e^{\int{u\left( x\right) \mbox{d}x }} \\
u^{\prime}\left( x\right)e^{\int{u\left( x\right) \mbox{d}x }}+u^{2}\left( x\right)e^{\int{u\left( x\right) \mbox{d}x }}+\left( \frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}} \right)u\left( x\right)e^{\int{u\left( x\right) \mbox{d}x }}+ \frac{2}{x^2+1}e^{\int{u\left( x\right) \mbox{d}x }}=0\\}\)
Równanie Riccatiego wygląda tak
\(\displaystyle{ u^{\prime}\left( x\right) +u^{2}\left( x\right)+\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}} \right)u\left( x\right)+ \frac{2}{x^2+1}=0}\)
Gdyby nam się udało znaleźć całkę szczególną to łatwo by było rozwiązać to równanie
Jeden ze współczynników zawiera pierwiastek z trójmianu spróbujmy więc poszukać
całki szczególnej wśród jednej z takich funkcji
\(\displaystyle{ u_{1}= \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} }\\
-\frac{1}{2} \left( x^2+1\right)^{ -\frac{3}{2} } \cdot 2x+ \frac{1}{x^2+1}+\left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{3}{ \sqrt{x^2+1} } \right) \cdot \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} }+ \frac{2}{x^2+1}=0\\
- \frac{x}{\left( x^2+1\right) \sqrt{x^2+1} } + \frac{1}{x^2+1}+\frac{x}{\left( x^2+1\right) \sqrt{x^2+1} }- \frac{3}{x^2+1}+ \frac{2}{x^2+1}=0\\
0=0\\
u^{\prime}\left( x\right) =-u^{2}\left( x\right)-\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}} \right)u\left( x\right)- \frac{2}{x^2+1}\\
u\left( x\right)= \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } + \frac{1}{w\left( x\right) }\\
-\frac{x}{\left( x^2+1\right) \sqrt{x^2+1} }- \frac{w^{\prime}}{w^2}=-\left( \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} }+ \frac{1}{w} \right)^2-\left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{3}{ \sqrt{x^2+1} } \right)\left( \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} }+ \frac{1}{w} \right) - \frac{2}{x^2+1}\\}\)
\(\displaystyle{ -\frac{x}{\left(x^2+1\right) \sqrt{x^2+1} }-\frac{w^{\prime}}{w^2}=-\frac{1}{x^2+1}-\frac{2}{\sqrt{x^2+1}}\cdot\frac{1}{w}-\frac{1}{w^2}-\frac{x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}-\frac{x}{x^2+1} \cdot \frac{1}{w}+ \frac{3}{x^2+1}+ \frac{3}{ \sqrt{x^2+1} } \cdot \frac{1}{w}- \frac{2}{x^2+1}\\
-\frac{w^{\prime}}{w^2}=-\left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } \right) \cdot \frac{1}{w}-\frac{1}{w^2}\\
w^{\prime}= \left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } \right)w+1\\
w^{\prime}-\left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } \right)w=1\\}\)
\(\displaystyle{ w^{\prime}-\left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } \right)w=0\\
w^{\prime}=\left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } \right)w\\
\frac{ \mbox{d}w}{w}= \left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } \right) \mbox{d}x \\}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{x}{x^2+1} \mbox{d}x }\\
x^2+1=s\\
2x \mbox{d}x = \mbox{d}s\\
x \mbox{d}x= \frac{1}{2} \mbox{d}s\\
\frac{1}{2} \int{\frac{ \mbox{d}s}{s}}=\frac{1}{2}\ln{\left|s\right|}\\
\int{\frac{x}{x^2+1} \mbox{d}x }=\frac{1}{2}\ln{\left| x^2+1\right| }+C}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{x^2+1} }}\\
\sqrt{x^2+1}=t-x\\
x^2+1=t^2-2tx+x^2\\
1=t^2-2tx\\
t^2-1=2tx\\
x=\frac{t^2-1}{2t}\\
t-x=\frac{2t^2-t^2+1}{2t}=\frac{t^2+1}{2t}\\
\mbox{d}x = \frac{2t \cdot 2t-2\left( t^2-1\right) }{4t^2} \mbox{d}t\\
\mbox{d}x=\frac{t^2+1}{2t^2} \mbox{d}t\\
\int{\frac{2t}{t^2+1} \cdot \frac{t^2+1}{2t^2} \mbox{d}t}\\
\int{\frac{ \mbox{d}t}{t}}=\ln{\left| t\right| }+C\\
\int{\frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{x^2+1} }}=\ln{\left| x+ \sqrt{x^2+1} \right| }+C}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}w}{w}= \left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } \right) \mbox{d}x \\
\ln{\left| w\right| }= \frac{1}{2}\ln{\left| x^2+1\right| }-\ln{\left| x+\sqrt{x^2+1}\right| }+C\\
w=C \cdot \frac{ \sqrt{x^2+1} }{x+ \sqrt{x^2+1} } \\
w=C \cdot \sqrt{x^2+1}\left( x- \sqrt{x^2+1} \right) \\
w=C \cdot \left( x \sqrt{x^2+1}-\left( x^2+1\right) \right) \\
w\left( x\right)=C\left( x\right)\left(x \sqrt{x^2+1}-\left( x^2+1\right) \right)\\}\)
\(\displaystyle{ C^{\prime}\left( x\right)\left( x \sqrt{x^2+1}-\left( x^2+1\right) \right)+C\left( x\right)\left( \sqrt{x^2+1}+ \frac{x^2}{ \sqrt{x^2+1} } -2x \right)\\-C\left( x\right)\left( x \sqrt{x^2+1}-\left( x^2+1\right) \right)\left( \frac{x}{x^2+1}- \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} } \right)=1\\
C^{\prime}\left(x \right)\left( x \sqrt{x^2+1}-\left( x^2+1\right) \right)=1\\
C^{\prime}\left( x\right)= \frac{1}{x \sqrt{x^2+1}-\left( x^2+1\right) } \\}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{ \mbox{d}x }{x \sqrt{x^2+1}-\left( x^2+1\right) }}\\
\sqrt{x^2+1}=t-x\\
x^2+1=t^2-2tx+x^2\\
1=t^2-2tx\\
2tx=t^2-1\\
x=\frac{t^2-1}{2t}\\
t-x= \frac{2t^2-t^2+1}{2t}=\frac{t^2+1}{2t}\\
\mbox{d}x =\frac{2t \cdot 2t-2\left( t^2-1\right) }{4t^2} \mbox{d}t\\
\mbox{d}x =\frac{t^2+1}{2t^2} \mbox{d}t\\
\int{\frac{1}{ \frac{t^2-1}{2t} \cdot \frac{t^2+1}{2t}- \frac{t^4+2t^2+1}{4t^2} } \cdot \frac{t^2+1}{2t^2} \mbox{d}t }\\
-\int{\frac{2t^2}{t^2+1} \cdot \frac{t^2+1}{2t^2} \mbox{d}t }\\
-\int{ \mbox{d}t}=-t+C\\
\int{\frac{ \mbox{d}x }{x \sqrt{x^2+1}-\left( x^2+1\right) }}=-x- \sqrt{x^2+1}+C\\
C\left( x\right)=-x- \sqrt{x^2+1}+C\\
w=\left(-x- \sqrt{x^2+1}+C \right)\left( x \sqrt{x^2+1}-\left( x^2+1\right) \right)\\
w=\left(Cx+1 \right) \sqrt{x^2+1}-C\left( x^2+1\right)\\
u\left( x\right)= \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} }+\frac{1}{\left(Cx+1 \right) \sqrt{x^2+1}-C\left( x^2+1\right)}\\}\)
Do scałkowania funkcji \(\displaystyle{ u\left( x\right)}\) proponuję pierwsze podstawienie Eulera
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+1}=t-x}\)
Ostatnio zmieniony 16 sie 2013, o 11:15 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 1 raz.
-
rodzyn7773
- Użytkownik
- Posty: 1659
- Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 278 razy
"trudne" równanie?
Wydaje mi się że podstawienie yorgin daje najszybszy sposób rozwiązania. Ale faktycznie znalezienie tego podstawienia dzięki znajomości rozwiązania nie jest najlepszą drogą. Podejrzewam, że w metodzie Frobeniusa przy takim równaniu bardzo łatwo o błąd. Rozwiązanie zaproponowane przez mariuszm to według mnie dużo zgadywania. Ale mimo to każdy z tych pomysłów jest lepszy niż nic. Dzięki za pomoc.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
"trudne" równanie?
rodzyn7773, zauważ że yorgin, też zgaduje
i do tego sam się przyznał że korzystał z programu
a wg mnie łatwiej znaleźć całkę szczególną równania Riccatiego niż podstawienie zaproponowane
przez yorgin
Podstawienie sprowadzające równanie liniowe do równania Riccatiego jest dość dobrze znane i jedyny moment w którym ja zgaduje to całka szczególna równania Riccatiego
(Całkę szczególną równania Riccatiego dość łatwo znależć nawet bez znajomośći rozwiązania)
Zgoda że pomysł z równaniem Riccatiego wymaga więcej obliczeń
ale łatwiej na niego wpaść
To równanie liniowe otrzymałeś z równania Riccatiego ?
Jak tak to mój pomysł tutaj nie zadziała
ares41, równanie ma co najmniej jeden współczynnik niewymierny
więc trzeba będzie umieć mnożyć szeregi
Jak później obliczysz współczynniki tego szeregu ?
rodzyn7773, jak masz równanie liniowe drugiego rzędu to sprawdzasz czy to jest
jakieś znane równanie np
Równanie Eulera
(łatwo podstawieniem zbliżonym do tego zaproponowanego przez yorgin sprowadzić do
równania liniowego o stałych współczynnikach)
bądź też jakieś specjajne takie jak hipergeometryczne , Legendre'a, Bessela, Hermite'a, Laguerre'a
Sprawdzasz czy można łatwo znaleźć całkę szczególną i obniżyć rząd równania
Możesz sprawdzić czy wyzerowane współczynnika przy \(\displaystyle{ f^{\prime}}\)
bądź sprowadzenie do równania Riccatiego ułatwi znalezienie całki szczególnej
Jeśli te sposoby nie dadzą rezultatu to możesz spróbować całkować szeregami
yorgin, a ty sprawdzałeś tę metodę Frobeniusa ?
Zadziała ona w tym przykładzie ?
Sprawdzałeś czy dobrze przepisałeś współczynniki w tym równaniu liniowym o stałych współczynnikach
Mnie po scałkowaniu wyszło
\(\displaystyle{ y=C_{1}\left( x+ \sqrt{x^2+1} \right)+C_{2}\left( x+ \sqrt{x^2+1} \right)^2}\)
Z postaci rozwiązania wynika że można wyjściowe równanie sprowadzić
albo do równania Eulera albo do równania o stałych współczynnikach
i do tego sam się przyznał że korzystał z programu
a wg mnie łatwiej znaleźć całkę szczególną równania Riccatiego niż podstawienie zaproponowane
przez yorgin
Podstawienie sprowadzające równanie liniowe do równania Riccatiego jest dość dobrze znane i jedyny moment w którym ja zgaduje to całka szczególna równania Riccatiego
(Całkę szczególną równania Riccatiego dość łatwo znależć nawet bez znajomośći rozwiązania)
Zgoda że pomysł z równaniem Riccatiego wymaga więcej obliczeń
ale łatwiej na niego wpaść
To równanie liniowe otrzymałeś z równania Riccatiego ?
Jak tak to mój pomysł tutaj nie zadziała
ares41, równanie ma co najmniej jeden współczynnik niewymierny
więc trzeba będzie umieć mnożyć szeregi
Jak później obliczysz współczynniki tego szeregu ?
rodzyn7773, jak masz równanie liniowe drugiego rzędu to sprawdzasz czy to jest
jakieś znane równanie np
Równanie Eulera
(łatwo podstawieniem zbliżonym do tego zaproponowanego przez yorgin sprowadzić do
równania liniowego o stałych współczynnikach)
bądź też jakieś specjajne takie jak hipergeometryczne , Legendre'a, Bessela, Hermite'a, Laguerre'a
Sprawdzasz czy można łatwo znaleźć całkę szczególną i obniżyć rząd równania
Możesz sprawdzić czy wyzerowane współczynnika przy \(\displaystyle{ f^{\prime}}\)
bądź sprowadzenie do równania Riccatiego ułatwi znalezienie całki szczególnej
Jeśli te sposoby nie dadzą rezultatu to możesz spróbować całkować szeregami
yorgin, a ty sprawdzałeś tę metodę Frobeniusa ?
Zadziała ona w tym przykładzie ?
Sprawdzałeś czy dobrze przepisałeś współczynniki w tym równaniu liniowym o stałych współczynnikach
Mnie po scałkowaniu wyszło
\(\displaystyle{ y=C_{1}\left( x+ \sqrt{x^2+1} \right)+C_{2}\left( x+ \sqrt{x^2+1} \right)^2}\)
Z postaci rozwiązania wynika że można wyjściowe równanie sprowadzić
albo do równania Eulera albo do równania o stałych współczynnikach