calka niewłaściwa

[ulka5112]

Trzeba policzyć: \(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\left( \sin x\right) ^{4}+\left( \cos x\right) ^{4} }}\)
Policzyłam najpierw całkę nieoznaczoną i wyszło mi: \(\displaystyle{ F(x)= \frac{ \sqrt{2} }{2}\left( \arctg\left( \sqrt{2}\tg x-1 \right)+\arctg\left( \sqrt{2}\tg x+1 \right) \right)}\)
Dalej liczę \(\displaystyle{ F(2\pi)-F(0)=0}\). Powinno wyjść inaczej, czyli \(\displaystyle{ 2\pi \cdot \sqrt{2}}\).
Całkę raczej dobrze policzyłam, bo wynik zgadza się z wolframem.

[robertm19]

Ale ta całka nie jest niewłaściwa.

[ulka5112]

Była w dziale ,,całki niewłaściwe" stąd tak napisałam, ale faktycznie masz rację. Wiesz może, dlaczego nie wychodzi dobry wynik?

[robertm19]

Tak wiem, bo dzielisz wyrażenie przez \(\displaystyle{ \cos x}\) więc wypadają dwa punkty i powstaje całka niewłaściwa. Ja proponuje zrobić podstawienie \(\displaystyle{ t=\ctg(x)}\). Wtedy wypadną punkty \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 2\pi}\). Zmieniając zmienne także otrzymasz całkę niewłaściwą: \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}...}\).
Ah sorki jeszcze \(\displaystyle{ \pi}\) wypada .

[ulka5112]

Zaczęłam tak: \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{\left( \sin x\right) ^{4}+\left( \cos x\right) ^{4} } \frac{ \frac{1}{\left( \cos x\right) ^{4} } }{ \frac{1}{\left( \cos x\right) ^{4} } }= \int_{}^{} \frac{ \frac{1}{\left( \cos x\right) ^{4} } }{1+\left( \tg x\right) ^{4} }= \int_{}^{} \frac{\left( 1+\left( \tg x\right) ^{2} \right) \cdot \frac{1}{\left( \cos x\right) ^{2} } }{1+\left( \tg x\right) ^{4} }}\) Teraz podstawienie \(\displaystyle{ \tg x= t}\). Czyli chodzi Ci o to, że dzieląc na początku wyrzuciłam \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}}\). Ale co mi da podstawienie \(\displaystyle{ \ctg x}\) bo trochę tego nie rozumiem.

[robertm19]

Pomysł z cotangensem jest stąd, że myślałem o wyrzuceniu tylko skrajnych punktów, a zapomniałem o \(\displaystyle{ \pi}\). Z tangensem też się da. Tylko musisz dobrze ustalić granice w całkach niewłaściwych.
W ostatnim wyrażeniu \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos ^2 x}}\) ma być.

[ulka5112]

Już poprawiłam.

Trochę się nie orientuję w zmianie granica całkowania. Czy wyjdzie coś takiego?
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{\left( 1+t^2\right)dt }{1+t^4}: \ \ \int_{0}^{+ \infty } f(x) - \int_{- \infty }^{ \infty } f(x)- \int_{0}^{ \infty }f(x)}\)?

EDIT
Jest źle. Czy trzeba to rozbić tak: \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }+ \int_{ \frac{\pi}{2} }^{\pi} + \int_{\pi}^{ \frac{3\pi}{2} }+ \int_{ \frac{3\pi}{2} }^{2\pi}}\)?

[robertm19]

Tylko skąd te minusy?

[ulka5112]

Już pozmieniałam.

[robertm19]

Ja to zapisze poprawnie
\(\displaystyle{ f}\) przed zmianą zmiennych
\(\displaystyle{ g}\) po zmianie
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }fdx+ \int_{ \frac{\pi}{2} }^{ \frac{3\pi}{2} }fdx+ \int_{ \frac{3\pi}{2} }^{2\pi}fdx=\int_{0}^{ \infty }gdt+ \int_{-\infty}^{ \infty }gdt+ \int_{ -\infty }^{0}gdt=2\int_{-\infty}^{\infty}gdt}\)

[ulka5112]

Czyli wychodzi \(\displaystyle{ 2\int_{- \infty }^{ \infty } \frac{1+t^2}{1+t^4}= \sqrt{2} \left( \arctg\left( \sqrt{2}\tg x-1 \right)+\arctg\left( \sqrt{2}\tg x+1 \right) \right)\left( na \left( - \infty , \infty \right) \right)}\) Co z tym dalej zrobić?

[robertm19]

A jak się liczy całki niewłaściwe? Trzeba przejść do granicy.( nie wracaj już ze zmienną)

[ulka5112]

Właśnie zaczęłam się ich uczyć Dziękuję za pomoc, już wszystko jasne.

[yorgin]

Myślę, że warto odnotować następującą uwagę:

Sama całka

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\left( \sin x\right) ^{4}+\left( \cos x\right) ^{4} }}\)

niewłaściwa nie jest, ma skończone granice całkowania oraz wyrażenie podcałkowe jest określone na całym przedziale całkowania. Oczywiście bardzo łatwo sprawdzić, że całka jest zbieżna, gdyż wyrażenie podcałkowe daje się ograniczyć łatwo zarówno od góry, jak i od dołu.

"Niewłaściwość" całki nie bierze się z samej funkcji podcałkowej, lecz z postaci funkcji pierwotnej - ta nie jest określona na pełnym przedziale \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\)

[robertm19]

Myślę, że warto odnotować następującą uwagę:

Sama całka

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\left( \sin x\right) ^{4}+\left( \cos x\right) ^{4} }}\)

niewłaściwa nie jest, ma skończone granice całkowania oraz wyrażenie podcałkowe jest określone na całym przedziale całkowania. Oczywiście bardzo łatwo sprawdzić, że całka jest zbieżna, gdyż wyrażenie podcałkowe daje się ograniczyć łatwo zarówno od góry, jak i od dołu.

"Niewłaściwość" całki nie bierze się z samej funkcji podcałkowej, lecz z postaci funkcji pierwotnej - ta nie jest określona na pełnym przedziale \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\)

Dlatego trzeba dodać, że całka niewłaściwa i właściwa ma taką samą wartość ponieważ całka nie zmienia wartości gdy jest nieokreślona w skończenie wielu punktach lub gdy wartości w tych punktach są zmienione.