Ograniczoność i norma

[Katarzyna92]

\(\displaystyle{ T: C([0,1])\ni f \rightarrow T_{f}(x)\in C([0,1])}\), gdzie \(\displaystyle{ T_{f}(x)=x^2f(0)}\)

a) sprawdź poprawność definicji
b) wykaż liniowość
c) wyznacz ograniczenie oraz normę

Pomoże ktoś?

[robertm19]

Zacznij od przypomnienia sobie normy w tej przestrzeni i definicji operatora ograniczonego.

[PiotrowskiW]

To jest operator liniowy ?

[Spektralny]

To jest operator liniowy ?

Oczywiście,

• \(\displaystyle{ T(af+g)(x)=x^2(af(0)+g(0))=a x^2 f(0)+x^2g(0)=aTf(x)+Tg.}\)

Mamy

• \(\displaystyle{ \|Tf\| = \sup_{x\in [0,1]} |x^2||f(0)| \leqslant 1\cdot \|f\|}\).

Ponadto, \(\displaystyle{ \|T\mathbf{1}_{[0,1]}\|=1}\) skąd \(\displaystyle{ \|T\|=1}\).