całka powierzchniowa niezorientowana

[hannah000]

Mam prośbę o pomoc w jednej całce:

\(\displaystyle{ \iint_{S} (x^{2} + y^{2}) \mbox{d}S}\)

Gdzie: \(\displaystyle{ \ S: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \le \ z \le \ 1}\)

Czyli bryłą jest stożek ograniczony płaszczyzną \(\displaystyle{ \ z = \ 1}\)?

Więc trzeba obliczyć całkę: \(\displaystyle{ \iint_{D} (x^{2} + y^{2}) \sqrt{1+ 4x^{2}+4y^{2}} \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

Gdzie \(\displaystyle{ \ D}\) jest kołem o środku w początku układu współrzędnych o promieniu \(\displaystyle{ \ r = \ 1}\)

Przeszłam na współrzędne biegunowe i nie chce mi wyjść nic. Gdzie popełniam bląd?

[yorgin]

Gdzie: \(\displaystyle{ \ S: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \le \ z \le \ 1}\)

Czyli powierzchnią jest stożek ograniczony płaszczyzną \(\displaystyle{ \ z = \ 1}\)?

\(\displaystyle{ S}\) nie jest żadną powierzchnią. To bryła. Doprecyzuj więc treść zadania.

Więc trzeba obliczyć całkę: \(\displaystyle{ \iint_{D} (x^{2} + y^{2}) \sqrt{1+ 4x^{2}+4y^{2}} \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

Jeśli powierzchnią jest stożek, raczej mało, gdyż to byłyby rachunki tylko dla powierzchni bocznej. Do tego i tak niepoprawne, gdyż pod pierwiastkiem winno wyjść zupełnie co innego.

[hannah000]

Prosiłabym o większą podpowiedź, bo dalej nie wiem jak to ugryźć.

[yorgin]

Przeczytaj uważnie mój poprzedni post i odpowiedz na moją prośbę zawartą w pierwszej części. Inaczej Ci nie pomogę.

[hannah000]

Czytam to i czytam i dalej nie wiem

[yorgin]

Gdzie: \(\displaystyle{ \ S: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \le \ z \le \ 1}\)

Czyli powierzchnią jest stożek ograniczony płaszczyzną \(\displaystyle{ \ z = \ 1}\)?

\(\displaystyle{ S}\) nie jest żadną powierzchnią. To bryła. Doprecyzuj więc treść zadania.

[hannah000]

\(\displaystyle{ \ S}\) jest stożkiem z wierzchołkiem w początku układu współrzędnych, skierowany ku górze?

[yorgin]

\(\displaystyle{ S}\) będzie stożkiem, gdy zostanie inaczej opisany. Póki co przedstawiony przez Ciebie opis zbioru jest bryłą. Nie wiadomo więc, czy całka ma być liczona tylko po powierzchni bocznej, czy też może podstawa ma być również uwzględniona.

[hannah000]

Treść zadania podana w książce:

Obliczyć całkę powierzchniową:

\(\displaystyle{ \iint_{S} (x^{2} + y^{2}) \mbox{d}S}\)

Gdzie: \(\displaystyle{ \ S: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \le \ z \le \ 1}\)

[yorgin]

Tak więc bezgranicznie ufasz książce, która ewidentnie źle formułuje treść zadania? \(\displaystyle{ S}\) opisuje stożek wypełniony taki, jak poniżej:

\(\displaystyle{ {
\begin{pspicture}(0,-2.89)(7.38,2.89)
\psellipse[linewidth=0.04,dimen=outer](3.3,1.72)(3.3,0.25)
\psline[linewidth=0.04cm](0.02,1.75)(3.32,-1.47)
\psline[linewidth=0.04cm](3.32,-1.47)(6.58,1.73)
\psline[linewidth=0.04cm,arrowsize=0.05291667cm 2.0,arrowlength=1.4,arrowinset=0.4]{->}(3.3,-1.45)(3.3,2.87)
\psline[linewidth=0.04cm,arrowsize=0.05291667cm 2.0,arrowlength=1.4,arrowinset=0.4]{->}(3.3,-1.45)(7.36,-1.47)
\psline[linewidth=0.04cm,arrowsize=0.05291667cm 2.0,arrowlength=1.4,arrowinset=0.4]{->}(3.3,-1.45)(0.38,-2.87)
\end{pspicture}
}}\)

Górna podstawa jest na wysokości \(\displaystyle{ z=1}\).

[hannah000]

Widocznie nie można ufać Krysickiemu Tak też myślałam z tym stożkiem Co następnie robię źle?

[yorgin]

Zakładamy, że chodzi o stożek ograniczony powyższymi równaniami. Stożek jako powierzchnia mimo, iż ograniczenie daje bryłę.

Co robisz źle? Zapewne źle wyliczasz pochodne cząstkowe.

Ukryta treść:    

Wiedziałem, że widziałem to zadanie wcześniej:

https://www.matematyka.pl/341126.htm

O dziwo nie miałem tam wątpliwości ale zapewne dlatego, że poprzednik dał odpowiedź na zasadniczy problem braku uwzględnienia podstawy stożka.

[hannah000]

No oczywiście! więc wyszło:

\(\displaystyle{ \iint_{D} (x^{2} + y^{2}) \sqrt{1+ \frac{ x^{2} }{x^{2}+y^{2}} + \frac{ y^{2} }{x^{2}+y^{2}}} \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ \iint_{D} (x^{2} + y^{2}) \sqrt{2} \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

I dalej współrzędnymi biegunowymi, jednak wciąż coś mi nie wychodzi. Wynik wychodzi mi inny niż w odpowiedziach.

[yorgin]

Wychodzi inny zapewne dlatego, że liczysz całkę tylko po powierzchni bocznej stożka, bez uwzględnienia podstawy. Z nią na szczęście całkowanie nie powinno być trudne.

[hannah000]

Czyli po prostu liczę dwie całki, jedną ze stożka a drugą z płaszczyzny?
Dziękuję bardzo za pomoc!!! -- 13 sie 2013, o 17:09 --Czyli zadanie jest źle sformułowane? Co konkretnie jest złego w treści?