Zbadać czy podany ciąg jest ograniczony z dołu, z góry.

[jumper4]

Proszę o pomoc:
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{4^n-1}{2^n+3}}\)

Jak się za to zabrać ?

Wiem, że nie jest ograniczony z góry, bo:
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{4^n-1}{2^n+3}=\frac{2^n \cdot 2^n-1}{2^n+3} \xrightarrow{n \rightarrow \infty } \left[ 2^ \infty \right] = \infty}\)

Dla \(\displaystyle{ a_{1}= \frac{3}{5}}\)
Teraz by jakoś wykazać, że jest rosnący (od \(\displaystyle{ n=1}\) jak) ?

A może dało by się prościej to zadanie zrobić ?

[bartek118]

Z góry nie jest, ponieważ słusznie zauważyłeś - granica. Z dołu natomiast - jest cały czas dodatni, więc jest ograniczony z dołu przez \(\displaystyle{ 0}\).

[Gouranga]

mógłbyś znając \(\displaystyle{ a_1}\) spróbować zbadać monotoniczność tego ciągu, jeśli jest zawsze rosnący to masz pewność, że \(\displaystyle{ a_1}\) jest najmniejszym wyrazem czyli dokładniej możesz określić, że to nim jest ograniczony z dołu

\(\displaystyle{ a_{n+1} - a_n = \frac{2^{n+1} - 1}{4^{n+1}+3} - \frac{ 2^n - 1}{4^n + 3} > 0}\)

jednak tutaj okazuje się, że nie dla każdego \(\displaystyle{ n}\) ciąg taki będzie rosnący, więc określenie, że jest ograniczony przez \(\displaystyle{ 0}\) jest prostsze