Wyznaczyć \(\displaystyle{ a,b \in R}\) żeby funkcja była klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\) (ciągła i różniczkowalna)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a x^{2}+ x-b ,x \le 1\\ \ln (x)\arctan (x)+1, x>1\end{cases}}\)
Wie ktoś może jak zrobić to zadanie?
Różniczkowalność i ciągłość
-
Katarzyna92
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 27 gru 2011, o 16:11
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 1 raz
Różniczkowalność i ciągłość
Ostatnio zmieniony 22 sie 2013, o 19:56 przez yorgin, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.Temat umieszczony w złym dziale.
-
Barbara777
- Użytkownik
- Posty: 316
- Rejestracja: 13 maja 2013, o 18:28
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gówniak k. Bukowiny
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 115 razy
Różniczkowalność i ciągłość
Sa dwa parametry, wiec sama rozniczkowalnocia sie problemu zepchnac nie da.
Najpierw ciaglosc
\(\displaystyle{ f(1)=a+1-b}\)
Granica musi byc rowna wartosci funkcji, czyli
\(\displaystyle{ a+1-b=\lim_{x\to 1^-}(\ln x\cdot\arctan x+1)=1}\)
Stad mamy \(\displaystyle{ a=b}\)
Teraz rozniczkowalnosc.
\(\displaystyle{ f_+'(1)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{\ln(1+h)\cdot\arctan(1+h)+1-1}{h}=\frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ f_-'(1)=2a+1}\)
Dostajemy
\(\displaystyle{ a=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{2}}\)
I pochodna \(\displaystyle{ f}\)jest ciagla w \(\displaystyle{ x=1}\), czyli dla obliczonych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) funkcja jest klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^1(\mathbb R)}\)
Najpierw ciaglosc
\(\displaystyle{ f(1)=a+1-b}\)
Granica musi byc rowna wartosci funkcji, czyli
\(\displaystyle{ a+1-b=\lim_{x\to 1^-}(\ln x\cdot\arctan x+1)=1}\)
Stad mamy \(\displaystyle{ a=b}\)
Teraz rozniczkowalnosc.
\(\displaystyle{ f_+'(1)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{\ln(1+h)\cdot\arctan(1+h)+1-1}{h}=\frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ f_-'(1)=2a+1}\)
Dostajemy
\(\displaystyle{ a=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{2}}\)
I pochodna \(\displaystyle{ f}\)jest ciagla w \(\displaystyle{ x=1}\), czyli dla obliczonych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) funkcja jest klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^1(\mathbb R)}\)