całka z iloczynu funkcji cyklometrycznej i funkcji liniowej

[Daniel920]

Mógłby mi ktoś pomóc z tą całką.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} x\arcsin x \mbox{d}x}\)
z góry dzięki

-- 9 sie 2013, o 12:25 --

[M Ciesielski]

Przez części: \(\displaystyle{ u=\arc\sin x \\ \mbox{d}v = x \mbox{d}x}\)
Otrzymamy \(\displaystyle{ \frac{x^2}{2} \arc\sin x -\frac{1}{2}\int \frac{x^2 \mbox{d}x}{\sqrt{1-x^2}}}\).
Tę druga całkę to już wedle życzenia, można przez części różniczkując \(\displaystyle{ x}\).

[Daniel920]

właśnie chodzi mi o dalsze kroki bo na tym momencie się zatrzymałem.

[yorgin]

\(\displaystyle{ u=x\\
\\
v'=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}\)

[Daniel920]

thx -- 9 sie 2013, o 13:45 --kurcze jeszcze nie mogę rozgryźć tego.... jak mam wyliczyć całkę z \(\displaystyle{ \frac{x}{ \sqrt{1- x^{2} } }}\)

[mmttdd]

\(\displaystyle{ t=1-x^2}\)

[Daniel920]

mógłby mi ktoś konkretnie rozpisać tą całke od podstaw?

[Rafal28]

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\int \frac{x^2 \mbox{d}x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{2}\int \frac{1 - x^2 - 1}{\sqrt{1-x^2}} \mbox{d}x = \frac{1}{2}\int \sqrt{1-x^2} \mbox{d}x - \frac{1}{2}\int \frac{ \mbox{d}x}{\sqrt{1-x^2}} =...}\)

[yorgin]

Rafal28, ten sposób prowadzi do kłopotliwej całki \(\displaystyle{ \int \sqrt{1-x^2}dx}\), którą można rozwiązać na dwa sposoby (podstawienie trygonometryczne zwróci nieładny wynik). Zdecydowanie lepiej jest po prostu całkować przez części.

mógłby mi ktoś konkretnie rozpisać tą całke od podstaw?

Masz wszystkie potrzebne przejścia opisane. Łącznie z podstawieniami w całkowaniu przez części.

Całka

\(\displaystyle{ \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx}\)

jest do wyliczenia przez jedyne sensownie narzucające się podstawienie, które jakby tego było mało, mmttdd podał Ci na tacy.

Czego więc jeszcze oczekujesz?

[Rafal28]

Chyba, aż takiego dużego kłopotu nie ma.

\(\displaystyle{ \int \sqrt{a^2-x^2}dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{|a|}}\), dla \(\displaystyle{ |x| < |a|}\)

[yorgin]

Ale ten wzór z kosmosu się nie bierze i ja go na przykład nie znam na pamięć. Co więcej, otrzymanie powyższego wyniku wiąże się z zastosowaniem metody współczynników nieoznaczonych, które można użyć już na etapie liczenia

\(\displaystyle{ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx}\)

więc moim zdaniem koszt Twojego rozwiązania jest ogromny. Chyba że masz w zanadrzu inny sposób?

[Rafal28]

Dla mnie ten wzór to jeden z podstawowych. Jest wielokrotnie przytoczony w całkach rozwiązanych przez Szemek, mariuszm (sorry, jeśli źle napisałem nicki) w przyklejonych tematach. Mi się szybko tak liczy, ale jak kto woli może przez części.