Całka oznaczona z exp razy wielomian

[rezystor]

Witam
Jak policzyć całkę oznaczona typu
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} e^{- \alpha x^{2}} (Ax^{2}+Bx +C)}\)
gdzie granice występują w dwóch wariantach:
\(\displaystyle{ a=0 \ , \ b= \infty}\) lub \(\displaystyle{ a=- \infty \ , \ b= 0}\).
oraz jak policzyć
\(\displaystyle{ \int e^{- \alpha x^{2}}}\)

nie chodzi mi o samo rozwiązanie, ale o sposób jak to policzyć.
Z góry dzięki

[yorgin]

Zacznijmy od tego, że całka

\(\displaystyle{ \int e^{-ax^2}dx}\)

jest nieelementarna, a więc nie znajdziesz jej pierwotnej w postaci skończonej sumy funkcji elementarnych.

Nie przeszkadza to jednak w wyznaczeniu całek oznaczonych.

Obliczenie całki

\(\displaystyle{ \int_\RR e^{-x^2}dx}\)

można wykonać z użyciem całek podwójnych.

[rezystor]

To, że całkę \(\displaystyle{ \int e^{-ax^2}dx}\) da się obliczyć gdy jest oznaczona od \(\displaystyle{ - \infty}\) do \(\displaystyle{ \infty}\) to ja wiem.
Problem w tym, że nie mam pomysłu jak policzyć \(\displaystyle{ \int_{a}^{b} e^{- \alpha x^{2}} (Ax^{2}+Bx +C)}\) z granicami podanymi wcześniej. Próbowałem przez części ale nie idzie go wyskakuje \(\displaystyle{ \int e^{-ax^2}dx}\).

[yorgin]

\(\displaystyle{ \int_a^b Ce^{-x^2}dx}\) potrafisz policzyć.

\(\displaystyle{ \int_a^b Bxe^{-x^2}dx}\) liczy się przez podstawienie.

Natomiast

\(\displaystyle{ \int_a^b x^2e^{-x^2}dx=\int_a^b x\cdot \left( xe^{-x^2} \right) dx}\)

i dalej całkując przez części doprowadzisz to do pierwszej wymienionej przeze mnie całki.

[Mariusz M]

Jak znasz funkcję błędu albo funkcję \(\displaystyle{ \Gamma}\) (niezupełną ?) to możesz wyrazić swoją całkę
z ich użyciem korzystając z twierdzenia Newtona Leibniza
Możesz też rozwinąć funkcję podcałkową w szereg i całkować wyraz po wyrazie